距離と中点の計算ツール
平面または空間の2点を入力すると、その間の距離を単純化した根号の形（横に小数も表示）で、中点、そして線分を比 m : n で分ける点が得られます。一方の端点と中点がわかっているときは、モードを切り替えるともう一方の端点を求められます。計算過程を書き出し、2Dでは線分を縮尺どおりに描きます。無料、登録不要。
整数、小数、または 3/4 のような分数。
結果
2√13 ≈ 7.211103
距離
(1, 1)
中点
52
距離の2乗
計算過程
d = √(x, yの差の2乗の和)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
分点の公式
(0, 5/3)
線分 P₁P₂ を 1 : 2 で内分する点
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
図
距離と中点の計算ツールの使い方
- 1. 2Dか3Dかを選び、モードを選びます。 最初のモードでは2点の間の距離と中点を求め、2番目のモードでは一方の端点と中点から、もう一方の端点を求めます。
- 2. 座標を入力します。 整数、小数、そして 1/2 のような分数は正確な値のまま扱われるため、√13 の距離が 3.6055 に変わることはありません。
- 3. 距離と中点を読み取ります。 距離は単純化した根号の形と、小数による近似値で示します。中点は分数または小数の座標で示します。
- 4. 分点の公式を試します。 比 m と n を設定し、内分か外分かを選ぶと、線分をその比で分ける点がわかります。2Dでは線分、中点、分点を図に描きます。
公式
| 量 | 2D | 3D |
|---|---|---|
| 距離 | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| 中点 | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| P₁P₂ を比 m : n で内分する点 | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | 同じ式を各座標に適用 |
| P₁P₂ を比 m : n で外分する点 | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | 同じ式を各座標に適用 |
| P₁と中点Mが与えられたときのもう一方の端点 | P₂ = 2M − P₁ | 同じ式を各座標に適用 |
距離の公式は、2点の水平方向と鉛直方向の差を直角三角形の2辺とみなし、線分をその斜辺とみなす、ピタゴラスの定理を当てはめたものです。空間では同じ考え方を2回適用します。中点は各座標の平均で、比 1 : 1 の分点でもあります。
具体例
- 2Dの距離と中点。 P₁ = (−2, 3)、P₂ = (4, −1) のとき、差は 6 と −4 なので、d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103 です。中点は ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1) です。
- 分点の公式。 同じ線分を比 1 : 2 で内分する点は ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3) です。P₁ から P₂ へ向かって、長さの3分の1の位置にあります。
- 外分。 P₁ = (0, 0)、P₂ = (4, 0) のとき、比 3 : 1 で外分すると ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0) となり、P₂ の先にある点です。
- 3Dの距離。 (1, 2, 3) から (4, −2, 15) までの差は 3、−4、12 なので、d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 です。中点は (5/2, 0, 9) です。
- 欠けている端点。 一方の端点が (1, 2)、中点が (5/2, 4) のとき、もう一方の端点は (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6) です。
内分と外分
点が P₁P₂ を比 m : n で分けるとは、その点から P₁ と P₂ までの距離の比が m 対 n であることを意味します。内分では点は2点の間にあり、P₁ 側に長さの m/(m + n) があります。外分では点は直線上にあっても線分の外側にあり、m > n なら P₂ の先、m < n なら P₁ の先にあります。比 1 : 1 では外分点は存在しません。公式が 0 で割ることになるからです。線分を等分すること、重心を求めること、2つの既知の点の間で座標を補間することに、分点の公式が使われます。
よくある質問
- 距離の公式とは何ですか？
- 平面では d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) で、空間ではこれに (z₂ − z₁)² の項が加わります。ピタゴラスの定理から導かれます。水平方向と鉛直方向の差が直角三角形の2辺となり、距離はその斜辺です。
- 線分の中点はどのように求めますか？
- 座標ごとに平均を取ります。x 座標の2つを足して2で割り、y 座標の2つを足して2で割ります（z も同様）。(−2, 3) と (4, −1) の中点は (1, 1) です。
- 一方の端点と中点がわかっているとき、もう一方の端点はどう求めますか？
- 中点を2倍し、わかっている端点を座標ごとに引きます： P₂ = 2M − P₁。中点はちょうど真ん中なので、未知の端点は、既知の端点が中点の手前にあるのと同じ距離だけ、中点の先にあります。
- 分点の公式とは何ですか？
- 線分を与えられた比で分ける点を求める公式です。比 m : n の内分では (n·P₁ + m·P₂)/(m + n)、外分では (m·P₂ − n·P₁)/(m − n) です。中点は m = n の特別な場合です。
- 距離を求めるとき、2点の順番は関係しますか？
- 関係ありません。2点を入れ替えると差の符号がすべて変わりますが、差は2乗されるので、距離は同じです。比 m : n は P₁ から P₂ へ向けて測るため、分点の公式では順番が重要です。
- なぜ距離は平方根のまま残すのですか？
- √52 のような平方根は正確な距離であり、小数は丸めた値です。このツールは √52 = 2√13 と単純化し、小数も表示するので、証明には正確な値を、測定には小数を使えます。