Calcolatore di distanza e punto medio
Inserisci due punti nel piano o nello spazio e ottieni la distanza tra di essi in forma radicale semplificata (con il valore decimale accanto), il loro punto medio e il punto che divide il segmento in un rapporto qualsiasi m : n. Cambia modalità per trovare l'altro estremo quando conosci un estremo e il punto medio. Il procedimento è scritto per esteso e, in 2D, il segmento viene disegnato in scala. Gratuito, senza registrazione.
Numeri interi, decimali o frazioni come 3/4.
Risultati
2√13 ≈ 7,211103
Distanza
(1, 1)
Punto medio
52
Distanza al quadrato
Il procedimento
d = √(somma dei quadrati delle differenze in x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Formula della sezione
(0, 5/3)
Punto che divide P₁P₂ internamente nel rapporto 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Grafico
Come usare il calcolatore di distanza e punto medio
- 1. Scegli 2D o 3D e una modalità. La prima modalità misura la distanza tra due punti; la seconda trova un estremo a partire da un punto e dal punto medio.
- 2. Inserisci le coordinate. Interi, decimali e frazioni come 1/2 restano esatti, quindi una distanza di √13 non diventa mai 3,6055.
- 3. Leggi la distanza e il punto medio. La distanza è in forma radicale semplificata con un'approssimazione decimale; il punto medio è mostrato come frazione o come punto decimale.
- 4. Prova la formula della sezione. Imposta m e n e scegli divisione interna o esterna per trovare il punto che divide il segmento in quel rapporto. In 2D vengono tracciati il segmento, il punto medio e il punto di sezione.
Le formule
| Grandezza | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Distanza | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Punto medio | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Punto che divide P₁P₂ internamente nel rapporto m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | lo stesso, applicato a ciascuna coordinata |
| Punto che divide P₁P₂ esternamente nel rapporto m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | lo stesso, applicato a ciascuna coordinata |
| Altro estremo, dati P₁ e il punto medio M | P₂ = 2M − P₁ | lo stesso, applicato a ciascuna coordinata |
La formula della distanza è il teorema di Pitagora applicato alle differenze orizzontali e verticali tra i punti: sono i cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa è il segmento. Nello spazio la stessa idea si applica due volte. Il punto medio è semplicemente la media di ciascuna coordinata, ed è il punto di sezione per il rapporto 1 : 1.
Esempi svolti
- Distanza e punto medio in 2D. Per P₁ = (−2, 3) e P₂ = (4, −1) le differenze sono 6 e −4, quindi d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Il punto medio è ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Formula della sezione. Il punto che divide lo stesso segmento internamente nel rapporto 1 : 2 è ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Si trova a un terzo della distanza da P₁ a P₂.
- Divisione esterna. Per P₁ = (0, 0) e P₂ = (4, 0), il rapporto esterno 3 : 1 dà ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), un punto oltre P₂.
- Distanza in 3D. Da (1, 2, 3) a (4, −2, 15) le differenze sono 3, −4 e 12, quindi d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, e il punto medio è (5/2, 0, 9).
- Estremo mancante. Se un estremo è (1, 2) e il punto medio è (5/2, 4), l'altro estremo è (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
Divisione interna ed esterna
Dire che un punto divide P₁P₂ nel rapporto m : n significa che le sue distanze da P₁ e da P₂ stanno nel rapporto m a n. In una divisione interna il punto si trova tra i due, con m/(m + n) della lunghezza dal lato di P₁. In una divisione esterna il punto sta sulla retta ma fuori dal segmento: oltre P₂ quando m > n, oltre P₁ quando m < n. Un rapporto 1 : 1 non ha un punto esterno, perché la formula dividerebbe per zero. I punti di sezione servono a dividere un segmento in parti uguali, a trovare il baricentro e a interpolare le coordinate tra due punti noti.
Domande frequenti
- Qual è la formula della distanza?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) nel piano, con un termine (z₂ − z₁)² aggiunto nello spazio. Deriva dal teorema di Pitagora: le differenze orizzontali e verticali sono i due cateti di un triangolo rettangolo e la distanza è la sua ipotenusa.
- Come si trova il punto medio di un segmento?
- Calcola la media delle coordinate: somma i due valori di x e dividi per due, somma i due valori di y e dividi per due (e lo stesso per z). Il punto medio di (−2, 3) e (4, −1) è (1, 1).
- Come si trova un estremo quando si conoscono l'altro estremo e il punto medio?
- Raddoppia il punto medio e sottrai l'estremo noto, coordinata per coordinata: P₂ = 2M − P₁. Il punto medio sta esattamente a metà strada, quindi l'estremo incognito è lontano da M quanto lo è l'estremo noto prima di esso.
- Che cos'è la formula della sezione?
- Fornisce il punto che divide un segmento in un dato rapporto. Per una divisione interna nel rapporto m : n il punto è (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); per una divisione esterna è (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Il punto medio è il caso particolare m = n.
- L'ordine dei punti conta per la distanza?
- No. Scambiare i punti cambia il segno di ogni differenza, e le differenze sono elevate al quadrato, quindi la distanza è la stessa. L'ordine conta invece per la formula della sezione, perché m : n si misura da P₁ verso P₂.
- Perché la distanza resta una radice quadrata?
- Una radice quadrata come √52 è la distanza esatta; un decimale è un arrotondamento. Il calcolatore la semplifica (√52 = 2√13) e fornisce anche il decimale, così puoi usare il valore esatto in una dimostrazione e il decimale in una misura.