Calcolatore di derivate

Risultati

Letto come: $f(x)=x^2\sin \left(x\right)$

Come usare il calcolatore di derivate

1. 1. Scrivi la funzione. Scrivila come la scriveresti su carta: 3x^4 - 2x^2 + 7x, x^2 sin(x), (x^2+1)/(x-1), e^(-x^2). La moltiplicazione si può omettere tra un numero o una lettera e ciò che segue, quindi 2x e x sin x funzionano.
2. 2. Scegli la variabile e l'ordine. La derivata è calcolata rispetto a x a meno che tu non scelga un'altra lettera; ogni altra lettera è trattata come una costante. L'ordine 2 dà la derivata seconda, e così via fino a 5.
3. 3. Aggiungi un punto se vuoi un numero. Inserisci 2, -1.5 o pi/4 per ottenere la funzione e la sua derivata valutate in quel punto, esattamente dove l'algebra lo consente (1/2, 2sin(1) + cos(1)) e come decimale.
4. 4. Leggi il procedimento. Compare prima la risposta, poi ogni derivata fino all'ordine scelto, poi una riga per ogni sottoespressione che indica la regola usata e la derivata prodotta.

Le regole applicate dal calcolatore

Esempi svolti

Regola del prodotto e della catena insieme. Per f(x) = x² sin(x), la regola del prodotto con u = x² e v = sin x dà u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x. In x = 1 vale 2 sin 1 + cos 1 ≈ 2,2232443. Per f(x) = sin(x²) la funzione esterna è il seno e l'interno è u = x², quindi f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²).

Regola del quoziente, poi ordini superiori. Per f(x) = (x² + 1)/(x − 1), u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1, quindi f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². In x = 3 vale 2/4 = 1/2. Derivando di nuovo, il numeratore della derivata seconda ha un fattore (x − 1) che si semplifica, lasciando f″(x) = 4/(x − 1)³ — il calcolatore semplifica questi fattori così che le derivate superiori escano nella forma breve.

Come viene letto il tuo input

• Moltiplicazione. 2x, 3(x+1), (x+1)(x-1) e x sin x si moltiplicano. Un numero semplice non può seguire una lettera o una parentesi (x2 viene rifiutato, non indovinato): scrivi x*2 oppure 2x.
• Divisione. La moltiplicazione implicita ha la stessa precedenza di * e /, da sinistra a destra, quindi 1/2x significa (1/2)·x. Scrivi 1/(2x) per l'altra lettura. La riga «Letto come» mostra esattamente cosa è stato compreso.
• Potenze. -x^2 è −(x²), 2^-x è 2 elevato a −x, e a^b^c è a^(b^c). sin^2(x) significa (sin x)². sin^-1(x) viene rifiutato come ambiguo — scrivi asin(x) oppure 1/sin(x).
• Funzioni senza parentesi. sin x, ln x^2 (cioè ln di x²) e sin 2x prendono un solo argomento semplice; sin x (x+1) è sin(x) per (x+1).
• Nomi. Le variabili sono lettere singole, e è il numero di Nepero, pi o π è π, exp(x) è eˣ, ln è il logaritmo naturale e log è il logaritmo in base 10. log(x, 2) è il logaritmo in base 2. Gli angoli sono in radianti.

Da tenere a mente

I risultati sono semplificati in una forma convenzionale — termini simili raccolti, polinomi sviluppati, fattori comuni raccolti e fattori comuni semplificati tra numeratore e denominatore — ma una risposta dall'aspetto diverso può essere comunque corretta. Verifica valutando entrambe in un punto. Semplificare un fattore come (x − 1) può allargare silenziosamente il dominio in x = 1, come in qualsiasi sistema di algebra, quindi una derivata è dichiarata solo dove la funzione originale è definita.

La derivata di |u| è u·u′/|u|, che non esiste dove u = 0; il grafico mostra lo spigolo. Lo strumento deriva funzioni esplicite di una variabile scelta, trattando le altre lettere come costanti (è così che si calcola una derivata parziale); non esegue la derivazione implicita.

Domande frequenti

Come si trova una derivata passo passo?

Individua la struttura più esterna dell'espressione e applica la regola corrispondente: separa le somme termine per termine, raccogli i fattori costanti, usa la regola del prodotto o del quoziente quando due parti dipendono entrambe dalla variabile, e la regola della catena quando una funzione ha qualcosa di diverso da x al suo interno. Poi ripeti sui singoli pezzi. Il procedimento qui sopra segue esattamente questo ordine, dall'esterno verso l'interno.

Quando si usa la regola della catena e quando quella del prodotto?

Usa la regola del prodotto quando due fattori moltiplicati tra loro dipendono entrambi da x, come in x² sin x. Usa la regola della catena quando una funzione sta dentro un'altra, come in sin(x²) o e^(3x). Molti problemi richiedono entrambe, come x² sin(3x).

A cosa serve la derivata seconda?

È la derivata della derivata, quindi misura quanto velocemente cambia la pendenza stessa. Una derivata seconda positiva significa che il grafico è concavo verso l'alto (curva come una coppa); una negativa, concavo verso il basso. Nei punti in cui f′ = 0, il segno di f″ distingue un massimo da un minimo.

Posso calcolare una derivata parziale?

Sì, nel senso che conta per il calcolo. Scrivi la funzione con più lettere, come x^2 y + sin(y x), e scegli la variabile rispetto alla quale derivare; le altre lettere restano costanti. Il grafico è nascosto per funzioni di più di una variabile.

Perché la derivata di |x| non è definita in 0?

Il grafico di |x| ha uno spigolo netto nell'origine: la pendenza è −1 appena a sinistra e +1 appena a destra, quindi non esiste un'unica tangente. Lontano da 0 la derivata è x/|x|, che vale −1 per x negativo e +1 per x positivo.

Log è il logaritmo naturale o in base 10?

Qui log è in base 10, come su una calcolatrice scientifica, e ln è il logaritmo naturale; le materie differiscono su questo, quindi controlla il tuo libro di testo. Per qualsiasi altra base scrivi log(x, b). La derivata di log(x) è 1/(x ln 10), e quella di ln(x) è 1/x.

Perché la mia risposta è diversa da quella del libro?

Espressioni equivalenti si possono scrivere in molti modi: (x + 1)eˣ e xeˣ + eˣ sono la stessa funzione. Se la forma è diversa, valuta entrambe in uno o due punti — i valori nel punto che hai scelto ti permettono di farlo — invece di supporre che una sia sbagliata.