Calcolatore di MCD e mcm
Inserisci due o più numeri interi per ottenere il loro massimo comun divisore e il minimo comune multiplo. La risposta è calcolata in due modi affiancati — l'algoritmo delle divisioni di Euclide e il metodo della scomposizione in fattori primi — così puoi seguire quello che usa la tua classe. Numeri fino a 40 cifre vengono gestiti in modo esatto.
Due o più, separati da virgole o spazi. I segni vengono ignorati: entrambi sono definiti sui valori assoluti.
Risultati
6
Massimo comun divisore (MCD)
180
Minimo comune multiplo (mcm)
3
Numeri confrontati
MCD con l'algoritmo di Euclide
Dividi il numero maggiore per il minore, poi dividi l'ultimo divisore per il resto, finché il resto è 0. L'ultimo divisore è l'MCD.
MCD(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
Il resto ha raggiunto 0, quindi MCD(12, 18) = 6.
MCD(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
Il resto ha raggiunto 0, quindi MCD(6, 30) = 6.
Con più di due numeri, li si combina uno alla volta: MCD(MCD(12, 18), 30) = MCD(6, 30) = 6.
mcm a partire dall'MCD
Per due numeri, mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b). Con di più, combinali uno alla volta.
mcm(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
mcm(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
Il metodo della scomposizione in fattori primi
Scomponi ogni numero in fattori primi. L'MCD prende ogni primo che i numeri hanno in comune alla potenza più bassa; il mcm prende ogni primo che compare alla potenza più alta.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| Primo | 12 | 18 | 30 | MCD (potenza più bassa) | mcm (potenza più alta) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
MCD = 2 × 3 = 6
mcm = 2² × 3² × 5 = 180
Come usare il calcolatore di MCD e mcm
- 1. Scrivi i numeri. Separali con virgole o spazi: 12, 18, 30. Bastano due numeri; ne vengono accettati fino a dodici. Non usare separatori delle migliaia, perché qui una virgola inizia un nuovo numero.
- 2. Leggi le due risposte. MCD e mcm compaiono in alto, con una nota quando l'MCD è 1 e i numeri sono coprimi.
- 3. Segui il metodo che ti è stato insegnato. L'algoritmo di Euclide elenca ogni divisione; la tabella della scomposizione in fattori primi mostra la potenza di ciascun primo in ogni numero e quale potenza prendono MCD e mcm.
- 4. Copia il risultato. Il pulsante di copia dà un riepilogo su una riga, per esempio MCD(12, 18, 30) = 6; mcm(12, 18, 30) = 180.
Due modi per trovare MCD e mcm
Algoritmo di Euclide
L'algoritmo di Euclide, dal Libro VII dei suoi Elementi (intorno al 300 a.C.), si basa su un fatto: l'MCD di due numeri divide anche il loro resto. Quindi dividi il numero maggiore per il minore, sostituisci il maggiore con il resto e ripeti. Quando il resto arriva a 0, l'ultimo divisore è l'MCD. Per 48 e 180:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → MCD(48, 180) = 12
È veloce qualunque sia la grandezza dei numeri: il numero di divisioni non supera mai cinque volte il numero di cifre del minore. Per questo è il metodo usato dai computer, ed è per questo che questo calcolatore può lavorare con numeri di 40 cifre all'istante.
Scomposizione in fattori primi
Scrivi ogni numero come prodotto di numeri primi. L'MCD è il prodotto dei primi che i numeri condividono, ciascuno alla potenza più bassa; il mcm è il prodotto di ogni primo che compare, ciascuno alla potenza più alta. Con 48 = 2⁴ × 3 e 180 = 2² × 3² × 5, l'MCD è 2² × 3 = 12 e il mcm è 2⁴ × 3² × 5 = 720. Il metodo rende visibile la struttura, ma dipende dalla scomposizione, che diventa lenta per numeri molto grandi.
Per due numeri esiste anche una scorciatoia che collega le due risposte: mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b). Per 48 e 180, è 8640 ÷ 12 = 720. Il calcolatore la usa per costruire il mcm a partire dall'MCD.
Esempio svolto: 12, 18 e 30
- MCD della prima coppia. 18 = 1 × 12 + 6, poi 12 = 2 × 6 + 0, quindi MCD(12, 18) = 6.
- Aggiungi il terzo numero. 30 = 5 × 6 + 0, quindi MCD(MCD(12, 18), 30) = MCD(6, 30) = 6.
- mcm, una coppia alla volta. mcm(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, poi mcm(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- Verifica con i primi. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5. I primi condivisi alla potenza più bassa danno 2 × 3 = 6; tutti i primi alla potenza più alta danno 2² × 3² × 5 = 180.
Quando ti servono MCD o mcm
| Problema | Quale usare | Esempio |
|---|---|---|
| Semplificare una frazione | MCD | 18/30: dividi entrambi per l'MCD 6 per ottenere 3/5. |
| Sommare frazioni | mcm | 1/12 + 1/18: il minimo comune denominatore è 36. |
| Dividere in gruppi uguali | MCD | 12 penne e 18 matite fanno al massimo 6 kit identici. |
| Allineare cicli che si ripetono | mcm | Autobus che passano ogni 12 e 18 minuti si ritrovano insieme dopo 36 minuti. |
| Fattorizzare un'espressione | MCD | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
Domande frequenti
- Qual è la differenza tra MCD e mcm?
- Il massimo comun divisore è il numero più grande che divide ogni numero dell'elenco, quindi non è mai maggiore del più piccolo di essi. Il minimo comune multiplo è il numero più piccolo che ogni numero dell'elenco divide, quindi non è mai minore del più grande. Per 12 e 18 l'MCD è 6 e il mcm è 36.
- MCD, GCD e HCF sono la stessa cosa?
- Sì. Massimo comun divisore (MCD), greatest common divisor (GCD) e highest common factor (HCF, il termine usuale nel Regno Unito) sono tre nomi dello stesso numero. Il mcm è talvolta chiamato lowest common multiple.
- Qual è l'MCD di due numeri primi?
- È 1, perché un primo ha come soli divisori 1 e se stesso. Due numeri il cui MCD è 1 si dicono coprimi o primi tra loro, e il loro mcm è semplicemente il loro prodotto: mcm(7, 11) = 77. Dei numeri possono essere coprimi senza essere primi, come 8 e 15.
- Come si trova il mcm di tre o più numeri?
- Lavora una coppia alla volta: trova il mcm dei primi due, poi il mcm di quel risultato e del terzo numero, e così via. Oppure scomponi ogni numero in primi e moltiplica ogni primo alla potenza più alta che raggiunge in uno qualsiasi di essi.
- Perché non posso inserire 0?
- Ogni numero intero divide 0, quindi MCD(0, n) è semplicemente n, e per convenzione mcm(0, n) è 0 — nessuno dei due richiede un calcolo, e 0 non ha una scomposizione in fattori primi da mostrare. Rimuovi lo 0 e il calcolatore confronta i numeri rimanenti.
- MCD × mcm è sempre uguale al prodotto dei numeri?
- Solo per due numeri: MCD(a, b) × mcm(a, b) = a × b. Con tre o più non vale — per 2, 4 e 8 l'MCD è 2 e il mcm è 8, quindi il loro prodotto è 16, non 64.