В чём разница между НОД и НОК?

Наибольший общий делитель — это самое большое число, на которое делится каждое число списка, поэтому оно никогда не больше наименьшего из них. Наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое делится на каждое число списка, поэтому оно никогда не меньше наибольшего из них. Для 12 и 18 НОД равен 6, а НОК равен 36.

Одно и то же ли НОД, GCD и HCF?

Да. Наибольший общий делитель (НОД), greatest common divisor (GCD) и highest common factor (HCF, обычный британский термин) — три названия одного и того же числа. Наименьшее общее кратное (НОК) иногда называют lowest common multiple (LCM).

Чему равен НОД двух простых чисел?

Единице, потому что у простого числа делители — только 1 и оно само. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми (coprime), а их НОК — просто их произведение: НОК(7, 11) = 77. Числа могут быть взаимно простыми и не быть простыми, например 8 и 15.

Как найти НОК трёх и более чисел?

Работайте по одной паре: найдите НОК первых двух, затем НОК этого результата и третьего числа и так далее. Или разложите каждое число на простые множители и возьмите каждый простой множитель в наибольшей степени, которой он достигает в любом из них.

Почему нельзя ввести 0?

Любое целое число делит 0, поэтому НОД(0, n) равен просто n, а НОК(0, n) по соглашению равно 0. Ни то ни другое не требует вычислений, а у 0 нет разложения на простые множители, которое можно было бы показать. Уберите 0, и калькулятор сравнит остальные числа.

Всегда ли НОД × НОК равно произведению чисел?

Только для двух чисел: НОД(a, b) × НОК(a, b) = a × b. Для трёх и более это не работает: для 2, 4 и 8 НОД равен 2, а НОК равен 8, так что их произведение равно 16, а не 64.

Калькулятор НОД и НОК

Введите два или больше целых чисел и получите их наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Ответ выводится двумя способами рядом — алгоритмом деления Евклида и методом разложения на простые множители, поэтому можно следовать тому, которому учат на вашем курсе. Числа до 40 цифр обрабатываются точно.

Целые числа

Два или больше, через запятую или пробел. Знаки игнорируются: оба понятия определены для модулей чисел.

Результаты

Наибольший общий делитель (НОД)

180

Наименьшее общее кратное (НОК)

Сравниваемые числа

НОД по алгоритму Евклида

Делите большее число на меньшее, затем последний делитель на остаток, пока остаток не станет равен 0. Последний делитель и есть НОД.

НОД(12, 18)

18 = 1 × 12 + 6

12 = 2 × 6 + 0

Остаток стал равен 0, поэтому НОД(12, 18) = 6.

НОД(6, 30)

30 = 5 × 6 + 0

Остаток стал равен 0, поэтому НОД(6, 30) = 6.

Если чисел больше двух, добавляйте их по одному: НОД(НОД(12, 18), 30) = НОД(6, 30) = 6.

НОК через НОД

Для двух чисел НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Если чисел больше, добавляйте их по одному.

НОК(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36

НОК(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180

Метод разложения на простые множители

Разложите каждое число на простые множители. В НОД входит каждый простой множитель, общий для чисел, в его наименьшей степени; в НОК входит каждый простой множитель, встречающийся в них, в его наибольшей степени.

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

30 = 2 × 3 × 5

Простой множитель	12	18	30	НОД (наименьшая степень)	НОК (наибольшая степень)
2	2²	2	2	2	2²
3	3	3²	3	3	3²
5	—	—	5	—	5

НОД = 2 × 3 = 6

НОК = 2² × 3² × 5 = 180

Как пользоваться калькулятором НОД и НОК

1. Введите числа. Разделяйте их запятыми или пробелами: 12, 18, 30. Достаточно двух чисел; принимается до двенадцати. Не ставьте разделители разрядов, поскольку здесь запятая начинает новое число.
2. Прочитайте два ответа. НОД и НОК выводятся вверху; если НОД равен 1, появится пометка, что числа взаимно простые.
3. Следуйте методу, которому вас учили. Алгоритм Евклида показывает каждое деление; таблица разложения на простые множители показывает степень каждого простого числа в каждом числе и степень, которую берут НОД и НОК.
4. Скопируйте результат. Кнопка копирования даёт однострочную сводку, например НОД(12, 18, 30) = 6; НОК(12, 18, 30) = 180.

Два способа найти НОД и НОК

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида из книги VII его «Начал» (около 300 года до н. э.) опирается на один факт: НОД двух чисел делит и их остаток. Поэтому разделите большее число на меньшее, замените большее остатком и повторите. Когда остаток станет равен 0, последний делитель и есть НОД. Для 48 и 180:

180 = 3 × 48 + 36
48 = 1 × 36 + 12
36 = 3 × 12 + 0  →  НОД(48, 180) = 12

Он быстр при любом размере чисел: количество делений никогда не превышает пятикратного числа цифр меньшего числа. Поэтому его используют компьютеры и поэтому этот калькулятор мгновенно работает с 40-значными числами.

Разложение на простые множители

Запишите каждое число как произведение простых чисел. НОД — это произведение простых множителей, которые числа имеют общими, каждый в его наименьшей степени; НОК — это произведение всех простых множителей, которые встречаются, каждый в его наибольшей степени. Для 48 = 2⁴ × 3 и 180 = 2² × 3² × 5 НОД равен 2² × 3 = 12, а НОК равен 2⁴ × 3² × 5 = 720. Метод делает структуру наглядной, но зависит от разложения, которое становится медленным для очень больших чисел.

Для двух чисел есть также формула, связывающая ответы: НОК(a, b) = a × b ÷ НОД(a, b). Для 48 и 180 это 8640 ÷ 12 = 720. Калькулятор использует её, чтобы получить НОК из НОД.

Пример: 12, 18 и 30

НОД первой пары. 18 = 1 × 12 + 6, затем 12 = 2 × 6 + 0, значит, НОД(12, 18) = 6.
Добавьте третье число. 30 = 5 × 6 + 0, значит, НОД(НОД(12, 18), 30) = НОД(6, 30) = 6.
НОК по парам. НОК(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, затем НОК(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
Проверка через простые множители. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² и 30 = 2 × 3 × 5. Общие простые множители в наименьших степенях дают 2 × 3 = 6; все простые множители в наибольших степенях дают 2² × 3² × 5 = 180.

Когда нужен НОД или НОК

Задача	Что использовать	Пример
Сокращение дроби	НОД	18/30: разделите оба числа на НОД 6, получите 3/5.
Сложение дробей	НОК	1/12 + 1/18: наименьший общий знаменатель равен 36.
Деление на равные группы	НОД	12 ручек и 18 карандашей дают не более 6 одинаковых наборов.
Совмещение повторяющихся циклов	НОК	Автобусы, которые ходят каждые 12 и 18 минут, встретятся снова через 36 минут.
Разложение выражения на множители	НОД	12x + 18 = 6(2x + 3).

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между НОД и НОК?: Наибольший общий делитель — это самое большое число, на которое делится каждое число списка, поэтому оно никогда не больше наименьшего из них. Наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое делится на каждое число списка, поэтому оно никогда не меньше наибольшего из них. Для 12 и 18 НОД равен 6, а НОК равен 36.
Одно и то же ли НОД, GCD и HCF?: Да. Наибольший общий делитель (НОД), greatest common divisor (GCD) и highest common factor (HCF, обычный британский термин) — три названия одного и того же числа. Наименьшее общее кратное (НОК) иногда называют lowest common multiple (LCM).
Чему равен НОД двух простых чисел?: Единице, потому что у простого числа делители — только 1 и оно само. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми (coprime), а их НОК — просто их произведение: НОК(7, 11) = 77. Числа могут быть взаимно простыми и не быть простыми, например 8 и 15.
Как найти НОК трёх и более чисел?: Работайте по одной паре: найдите НОК первых двух, затем НОК этого результата и третьего числа и так далее. Или разложите каждое число на простые множители и возьмите каждый простой множитель в наибольшей степени, которой он достигает в любом из них.
Почему нельзя ввести 0?: Любое целое число делит 0, поэтому НОД(0, n) равен просто n, а НОК(0, n) по соглашению равно 0. Ни то ни другое не требует вычислений, а у 0 нет разложения на простые множители, которое можно было бы показать. Уберите 0, и калькулятор сравнит остальные числа.
Всегда ли НОД × НОК равно произведению чисел?: Только для двух чисел: НОД(a, b) × НОК(a, b) = a × b. Для трёх и более это не работает: для 2, 4 и 8 НОД равен 2, а НОК равен 8, так что их произведение равно 16, а не 64.