Calculadora de MDC e MMC
Digite dois ou mais números inteiros e obtenha o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) deles. A resposta é calculada de duas formas lado a lado — o algoritmo de divisões de Euclides e o método da decomposição em fatores primos — para que você siga o que a sua turma usa. Números de até 40 dígitos são tratados com exatidão.
Dois ou mais, separados por vírgulas ou espaços. Os sinais são ignorados: ambos são definidos sobre valores absolutos.
Resultados
6
Máximo divisor comum (MDC)
180
Mínimo múltiplo comum (MMC)
3
Números comparados
MDC pelo algoritmo de Euclides
Divida o maior número pelo menor, depois divida o último divisor pelo resto, até que o resto seja 0. O último divisor é o MDC.
MDC(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
O resto chegou a 0, então MDC(12, 18) = 6.
MDC(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
O resto chegou a 0, então MDC(6, 30) = 6.
Com mais de dois números, combine-os um de cada vez: MDC(MDC(12, 18), 30) = MDC(6, 30) = 6.
MMC a partir do MDC
Para dois números, MMC(a, b) = a × b ÷ MDC(a, b). Com mais, combine-os um de cada vez.
MMC(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
MMC(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
O método da decomposição em fatores primos
Decomponha cada número em fatores primos. O MDC leva cada primo que os números têm em comum, na menor potência; o MMC leva cada primo que aparece, na maior potência.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| Primo | 12 | 18 | 30 | MDC (menor potência) | MMC (maior potência) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
MDC = 2 × 3 = 6
MMC = 2² × 3² × 5 = 180
Como usar a calculadora de MDC e MMC
- 1. Digite os números. Separe-os com vírgulas ou espaços: 12, 18, 30. Dois números bastam; são aceitos até doze. Não use separadores de milhar, porque aqui a vírgula inicia um novo número.
- 2. Leia as duas respostas. O MDC e o MMC aparecem no topo, com uma observação quando o MDC é 1 e os números são primos entre si.
- 3. Siga o método que você aprendeu. O algoritmo de Euclides lista cada divisão; a tabela de fatores primos mostra a potência de cada primo em cada número e qual potência o MDC e o MMC usam.
- 4. Copie o resultado. O botão de copiar gera um resumo de uma linha, como MDC(12, 18, 30) = 6; MMC(12, 18, 30) = 180.
Dois caminhos para encontrar o MDC e o MMC
Algoritmo de Euclides
O algoritmo de Euclides, do Livro VII de Os Elementos (por volta de 300 a.C.), se apoia em um fato: o MDC de dois números também divide o resto da divisão entre eles. Então divida o maior número pelo menor, substitua o maior pelo resto e repita. Quando o resto chega a 0, o último divisor é o MDC. Para 48 e 180:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → MDC(48, 180) = 12
Ele é rápido qualquer que seja o tamanho dos números: o número de divisões nunca passa de cinco vezes a quantidade de dígitos do menor. Por isso é o método que os computadores usam, e por isso esta calculadora consegue trabalhar com números de 40 dígitos instantaneamente.
Decomposição em fatores primos
Escreva cada número como produto de primos. O MDC é o produto dos primos que os números têm em comum, cada um na sua menor potência; o MMC é o produto de todos os primos que aparecem, cada um na sua maior potência. Com 48 = 2⁴ × 3 e 180 = 2² × 3² × 5, o MDC é 2² × 3 = 12 e o MMC é 2⁴ × 3² × 5 = 720. O método deixa a estrutura visível, mas depende de fatorar, o que fica lento para números muito grandes.
Para dois números há também um atalho que liga as respostas: MMC(a, b) = a × b ÷ MDC(a, b). Para 48 e 180, isso dá 8.640 ÷ 12 = 720. A calculadora usa essa relação para montar o MMC a partir do MDC.
Exemplo prático: 12, 18 e 30
- MDC do primeiro par. 18 = 1 × 12 + 6, depois 12 = 2 × 6 + 0, então MDC(12, 18) = 6.
- Inclua o terceiro número. 30 = 5 × 6 + 0, então MDC(MDC(12, 18), 30) = MDC(6, 30) = 6.
- MMC, um par de cada vez. MMC(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, depois MMC(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- Verificação com primos. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5. Os primos comuns na menor potência dão 2 × 3 = 6; todos os primos na maior potência dão 2² × 3² × 5 = 180.
Quando você precisa do MDC ou do MMC
| Problema | Use | Exemplo |
|---|---|---|
| Simplificar uma fração | MDC | 18/30: divida ambos por MDC 6 para obter 3/5. |
| Somar frações | MMC | 1/12 + 1/18: o menor denominador comum é 36. |
| Dividir em grupos iguais | MDC | 12 canetas e 18 lápis formam no máximo 6 kits idênticos. |
| Alinhar ciclos que se repetem | MMC | Ônibus a cada 12 e 18 minutos se encontram de novo após 36 minutos. |
| Fatorar uma expressão | MDC | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
Perguntas frequentes
- Qual é a diferença entre o MDC e o MMC?
- O máximo divisor comum é o maior número que divide todos os números da lista, por isso nunca é maior que o menor deles. O mínimo múltiplo comum é o menor número que todos os números da lista dividem, por isso nunca é menor que o maior deles. Para 12 e 18, o MDC é 6 e o MMC é 36.
- O MDC é o mesmo que GCF, GCD ou HCF?
- Sim. Máximo divisor comum (MDC), greatest common factor (GCF), greatest common divisor (GCD) e highest common factor (HCF, o termo usual no Reino Unido) são nomes diferentes para o mesmo número. O MMC às vezes é chamado de least common multiple (LCM).
- Qual é o MDC de dois números primos?
- É 1, porque os únicos divisores de um primo são 1 e o próprio número. Dois números cujo MDC é 1 são chamados de primos entre si, e o MMC deles é simplesmente o produto: MMC(7, 11) = 77. Números podem ser primos entre si sem serem primos, como 8 e 15.
- Como encontrar o MMC de três ou mais números?
- Trabalhe um par de cada vez: encontre o MMC dos dois primeiros, depois o MMC desse resultado com o terceiro número, e assim por diante. Ou decomponha todos os números em primos e multiplique cada primo na maior potência que ele alcança em qualquer um deles.
- Por que não posso digitar 0?
- Todo número inteiro divide 0, então MDC(0, n) é simplesmente n, e MMC(0, n) é 0 por convenção. Nenhum dos dois precisa de cálculo, e 0 não tem decomposição em fatores primos para mostrar. Remova o 0 e a calculadora compara os números restantes.
- MDC × MMC é sempre igual ao produto dos números?
- Só para dois números: MDC(a, b) × MMC(a, b) = a × b. Com três ou mais, não vale — para 2, 4 e 8, o MDC é 2 e o MMC é 8, então o produto deles é 16, não 64.