Calculadora de Fibonacci

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Fórmula de Binet

F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, em que φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 e ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,6180339887. Como |ψ| < 1, o segundo termo desaparece, então F(n) é φⁿ ÷ √5 arredondado para o inteiro mais próximo.

Isto difere do F(100) exato = 354224848179261915075. Um double guarda cerca de 16 algarismos significativos, então a fórmula de Binet em ponto flutuante comum se desvia a partir de n = 70 aproximadamente. Os valores exatos aqui usam aritmética de inteiros.

Razão entre termos consecutivos

F(n + 1) ÷ F(n) se aproxima da razão áurea φ à medida que n cresce, oscilando acima e abaixo dela.

A sequência

Como usar a calculadora de Fibonacci

1. 1. Digite n. Qualquer número inteiro de 0 a 100.000. A ferramenta usa a indexação F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2.
2. 2. Leia F(n). O valor aparece com a quantidade de dígitos. Acima de 40 dígitos, o cartão mostra os primeiros e os últimos dígitos, e Copiar todos os dígitos copia todos eles.
3. 3. Compare as fórmulas. A seção de Binet mostra φⁿ, ψⁿ e o resultado arredondado ao lado do termo exato, para que você veja onde a aritmética de ponto flutuante deixa de ser confiável. A seção de razões mostra F(n + 1) ÷ F(n) com 30 casas decimais, ao lado de φ.
4. 4. Liste termos. Em A sequência, escolha um termo inicial e quantos mostrar (até 100) para obter uma tabela de F(n) com cada razão F(n + 1) ÷ F(n).

O que é a sequência de Fibonacci

Cada termo é a soma dos dois anteriores: F(n) = F(n − 1) + F(n − 2), começando em 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Leonardo de Pisa (Fibonacci) a usou no Liber Abaci (1202) para modelar uma população de coelhos, embora os números já tivessem aparecido em textos indianos sobre métrica poética. Alguns livros começam a sequência em F(1) = F(2) = 1 e deixam de fora F(0); os valores são os mesmos, só muda o número da posição.

Algumas identidades que vale conhecer: a soma dos termos é F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143 = F(12) − 1); a cada três termos um é par; F(m) divide F(n) sempre que m divide n; e a identidade de Cassini diz que F(n − 1)·F(n + 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.

A fórmula de Binet e seus limites

A fórmula de Binet dá F(n) diretamente: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, com φ = (1 + √5) ÷ 2 e ψ = (1 − √5) ÷ 2. Como ψ vale cerca de −0,618, ψⁿ encolhe em direção a 0, e F(n) é simplesmente φⁿ ÷ √5 arredondado para o inteiro mais próximo. Para n = 10, φ¹⁰ ≈ 122,9919, ψ¹⁰ ≈ 0,0081, e (122,9919 − 0,0081) ÷ 2,2361 = 55.

A razão áurea

Divida cada termo pelo anterior e as respostas se aproximam de φ = 1,6180339887…, a razão áurea. Elas oscilam em torno dela — 2; 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615… — e cada razão fica mais próxima que a anterior. Depois de 20 termos, F(21) ÷ F(20) = 10.946 ÷ 6.765 concorda com φ em 7 casas decimais; F(41) ÷ F(40) concorda em 16; F(101) ÷ F(100) concorda em todas as 30 casas que a calculadora mostra. A razão é a mesma de Binet: F(n + 1) ÷ F(n) ≈ φⁿ⁺¹ ÷ φⁿ = φ.

F(100) = 354.224.848.179.261.915.075   (21 dígitos)
Dígitos pela fórmula: ⌊100 × 0,20898764 − 0,34948500⌋ + 1 = 21
F(101) ÷ F(100) = 1,618033988749894848204586834365…

Perguntas frequentes

Qual é o 100º número de Fibonacci?

F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, um número de 21 dígitos. Isso usa a convenção F(0) = 0 e F(1) = 1. Se a sua fonte numera a sequência a partir de 1, 1, 2, 3, …, o 100º termo dela também é F(100); só as fontes que deixam de fora o primeiro 1 deslocam a posição em uma unidade.

Como encontrar o n-ésimo número de Fibonacci sem listar todos os termos?

Use a fórmula de Binet para valores pequenos de n, ou a duplicação rápida para resultados exatos: ela constrói F(n) a partir de F(n ÷ 2) e F(n ÷ 2 + 1) com algumas multiplicações, então até F(100000) precisa de apenas cerca de 17 duplicações. Somar termo a termo funciona, mas leva n passos.

A sequência de Fibonacci começa em 0 ou em 1?

As duas convenções são usadas. A matemática costuma começar em F(0) = 0, F(1) = 1 (esta calculadora). Muitos livros didáticos e problemas começam com 1, 1. Os termos depois do início são idênticos, então confirme qual índice o seu problema usa antes de comparar respostas.

Qual é a relação entre a sequência de Fibonacci e a razão áurea?

A razão entre termos consecutivos F(n + 1) ÷ F(n) tende a φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Inversamente, φⁿ ÷ √5 fica a menos de 0,5 de F(n), que é a fórmula de Binet. A tabela da ferramenta mostra as razões convergindo.

Por que a fórmula de Binet dá um número inteiro?

As partes irracionais se cancelam exatamente: φⁿ e ψⁿ são conjugados, então a diferença entre eles é um múltiplo de √5. Na aritmética de ponto flutuante, porém, φⁿ é arredondado, e a partir de cerca de n = 71 o erro de arredondamento passa de 0,5 e a resposta fica errada em uma unidade ou mais.

Quantos dígitos tem F(n)?

Cerca de 0,2090 × n dígitos: com precisão, ⌊n·log₁₀φ − log₁₀√5⌋ + 1 para n ≥ 2. Assim, F(1000) tem 209 dígitos e F(100000) tem 20.899.

Existem outros números que seguem a mesma regra?

Sim. Quaisquer dois valores iniciais e a regra “some os dois anteriores” formam uma sequência do tipo Fibonacci; começando em 2 e 1 surgem os números de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18. As razões de todas essas sequências também se aproximam de φ. Experimente uma sequência própria no Solucionador de sequências numéricas.