Calculadora de expansão binomial
Digite os dois termos de um binômio e uma potência n, e obtenha a expansão completa de (a + b)ⁿ com coeficientes exatos, uma tabela de todos os termos e a fórmula do termo geral. Peça o 3.º termo, ou o coeficiente de x⁴, ou o termo sem x. Os termos podem ser números, uma letra como x, ou ambos — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Gratuito, sem cadastro.
Um número, uma variável ou ambos: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Apenas uma letra.
Um número inteiro de 0 a 100.
De 1 a n + 1, contando a partir do primeiro termo.
Digite p. Use 0 para o termo sem x.
Resultados
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Expansão de (2x + 3)⁵
6
Termos depois de combinar
3125
Soma dos coeficientes
Termo geral
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, para k = 0, 1, …, 5
Fazendo cada variável igual a 1, a expansão se torna um número: (2 + 3)⁵ = 3125.
Termo 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Termo a termo
| k | C(n, k) | Parte de a | Parte de b | Termo |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Como usar a calculadora de expansão binomial
- 1. Digite os dois termos. Escreva a e b como faria no papel:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Um termo pode usar uma letra, e os dois termos podem usar a mesma letra ou letras diferentes. Ponha o sinal de b em b: para (x − 2)ⁿ, digite-2. - 2. Digite a potência. Qualquer número inteiro de 0 a 100.
- 3. Opcionalmente, procure um termo. Digite o número de um termo para ver como ele é formado, ou uma potência p para obter o coeficiente de xᵖ — use 0 para o termo sem x.
- 4. Leia os resultados. A expansão aparece no topo, com a soma dos seus coeficientes, a fórmula do termo geral e uma tabela que mostra o coeficiente binomial de cada termo e as suas partes em a e em b.
O teorema binomial
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Do primeiro termo ao último, a potência de a cai de n para 0 enquanto a potência de b sobe de 0 para n, e as duas potências sempre somam n. Os coeficientes C(n, k) são as entradas da linha n do triângulo de Pascal: 1, 4, 6, 4, 1 para n = 4. O termo geral, o (k + 1)-ésimo termo, é T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, e uma expansão de (a + b)ⁿ tem n + 1 termos antes de quaisquer termos semelhantes se combinarem.
Exemplos práticos
- (2x + 3)⁵. Os coeficientes são 1, 5, 10, 10, 5, 1, e cada termo usa (2x)⁵⁻ᵏ e 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. O 3.º termo é C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Como verificação, fazendo x = 1 obtém-se (2 + 3)⁵ = 3125, que é exatamente a soma dos coeficientes.
- (x − 2)³. Com b = −2 os sinais se alternam: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Coeficiente de x³ em (1 + x)¹⁰. Digite a = 1, b = x, n = 10, e peça p = 3. O termo é C(10, 3)·1⁷·x³, então o coeficiente é 120.
- O termo sem x em (x² + 1/x)⁶. Digite a =
x^2, b =x^-1. O termo k tem x elevado a 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Isso é 0 quando k = 4, então o termo constante é C(6, 4) = 15.
| Erro comum | Abordagem correta |
|---|---|
| Escrever (2x)⁵ como 2x⁵ | O termo inteiro é elevado à potência: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Perder o sinal de b | Trate (x − 2)ⁿ como (x + (−2))ⁿ, de modo que as potências ímpares de b sejam negativas |
| Contar os termos a partir de 1 na fórmula | O termo de número r usa k = r − 1, então o primeiro termo tem k = 0 |
| Expandir (a + b)⁻¹ ou (a + b)^(1/2) desta forma | Essas expansões são séries infinitas, não somas finitas — veja a Taylor Series Calculator |
Perguntas frequentes
- Como se expande (a + b)^n?
- Some C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ para k de 0 até n. Os coeficientes C(n, k) vêm da linha n do triângulo de Pascal. Para (x + 1)⁴, os coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 dão x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Como encontro um termo específico de uma expansão binomial?
- Use o termo geral T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. O 4.º termo tem k = 3. Para encontrar o termo que contém xᵖ, calcule a potência de x no termo k, iguale-a a p, resolva para k e então calcule esse termo.
- Como encontro o termo independente de x?
- Escreva a potência de x no termo geral como função de k, iguale-a a 0 e resolva para k. Se k for um número inteiro de 0 a n, o termo constante é C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; se não for, não há termo constante. Digite p = 0 na calculadora para fazer isso automaticamente.
- Quantos termos tem uma expansão binomial?
- n + 1 termos para (a + b)ⁿ, de k = 0 a k = n. Alguns podem se combinar ou desaparecer quando a e b contêm a mesma variável. (x + x)ⁿ se reduz a um único termo, 2ⁿxⁿ.
- Qual é a soma dos coeficientes?
- Faça cada variável igual a 1: a soma dos coeficientes de (ax + b)ⁿ é (a + b)ⁿ. Para (2x + 3)⁵, isso dá 5⁵ = 3125. É uma verificação rápida da sua expansão.
- A potência pode ser negativa ou fracionária?
- Não com o teorema binomial finito. (1 + x)⁻¹ e (1 + x)^(1/2) se expandem em séries infinitas, válidas quando |x| < 1, o que a Taylor Series Calculator trata. Para potências inteiras de 0 a 100, esta calculadora dá expansões finitas exatas.
- Qual é a relação com o triângulo de Pascal?
- A linha n do triângulo de Pascal lista C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), que são exatamente os coeficientes de (a + b)ⁿ quando a e b têm coeficiente 1. O Pascal's Triangle Generator imprime quantas linhas você quiser.