द्विपद विस्तार कैलकुलेटर
द्विपद के दो पद और एक घात n लिखें, और (a + b)ⁿ का पूरा विस्तार पाएँ — सटीक गुणांकों, हर पद की तालिका और सामान्य पद के सूत्र के साथ। तीसरा पद पूछें, या x⁴ का गुणांक, या बिना x वाला पद। पद संख्या, x जैसा अक्षर, या दोनों हो सकते हैं — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2। निःशुल्क, साइन-अप नहीं।
एक संख्या, एक चर, या दोनों: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1। केवल एक अक्षर।
0 से 100 तक एक पूर्ण संख्या।
1 से n + 1 तक, पहले पद से गिनते हुए।
p लिखें। x के बिना पद के लिए 0 उपयोग करें।
परिणाम
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
(2x + 3)⁵ का विस्तार
6
समान पद मिलाने के बाद के पद
3125
गुणांकों का योग
सामान्य पद
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, k = 0, 1, …, 5 के लिए
हर चर को 1 रखने पर विस्तार एक संख्या बन जाता है: (2 + 3)⁵ = 3125।
पद 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
पद-दर-पद
| k | C(n, k) | a भाग | b भाग | पद |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
द्विपद विस्तार कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. दो पद लिखें। a और b उसी तरह लिखें जैसे कागज़ पर लिखते:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x। एक पद में एक अक्षर हो सकता है, और दोनों पदों में वही अक्षर या अलग अक्षर हो सकते हैं। b का चिह्न b में रखें: (x − 2)ⁿ के लिए-2लिखें। - 2. घात लिखें। 0 से 100 तक कोई भी पूर्ण संख्या।
- 3. वैकल्पिक रूप से एक पद खोजें। किसी पद की संख्या लिखें यह देखने के लिए कि वह कैसे बना है, या xᵖ का गुणांक पाने के लिए घात p लिखें — x के बिना पद के लिए 0 उपयोग करें।
- 4. परिणाम पढ़ें। विस्तार शीर्ष पर दिखता है, गुणांकों के योग, सामान्य पद के सूत्र, और उस तालिका के साथ जो हर पद का द्विपद गुणांक और a व b भाग दिखाती है।
द्विपद प्रमेय
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
पहले पद से अंतिम पद तक जाते हुए a की घात n से घटकर 0 तक आती है, जबकि b की घात 0 से बढ़कर n तक जाती है, और दोनों घातों का योग हमेशा n रहता है। गुणांक C(n, k) पास्कल त्रिभुज की पंक्ति n की प्रविष्टियाँ हैं: n = 4 के लिए 1, 4, 6, 4, 1। सामान्य पद, यानी (k + 1)-वाँ पद, T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ है, और (a + b)ⁿ के विस्तार में समान पद मिलने से पहले n + 1 पद होते हैं।
हल किए गए उदाहरण
- (2x + 3)⁵। गुणांक 1, 5, 10, 10, 5, 1 हैं, और हर पद (2x)⁵⁻ᵏ और 3ᵏ का उपयोग करता है: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243। तीसरा पद C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³ है। जाँच के लिए, x = 1 रखने पर (2 + 3)⁵ = 3125 आता है, जो ठीक गुणांकों का योग है।
- (x − 2)³। b = −2 के साथ चिह्न बारी-बारी से बदलते हैं: x³ − 6x² + 12x − 8।
- (1 + x)¹⁰ में x³ का गुणांक। a = 1, b = x, n = 10 लिखें, और p = 3 माँगें। पद C(10, 3)·1⁷·x³ है, इसलिए गुणांक 120 है।
- (x² + 1/x)⁶ में x के बिना पद। a =
x^2, b =x^-1लिखें। पद k में x की घात 2(6 − k) − k = 12 − 3k है। यह k = 4 पर 0 है, इसलिए स्थिर पद C(6, 4) = 15 है।
| आम गलती | सही तरीका |
|---|---|
| (2x)⁵ को 2x⁵ लिखना | पूरे पद को घात दी जाती है: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| b का चिह्न खो देना | (x − 2)ⁿ को (x + (−2))ⁿ मानें, ताकि b की विषम घातें ऋणात्मक हों |
| सूत्र में पद गिनती 1 से शुरू करना | पद संख्या r में k = r − 1 आता है, इसलिए पहले पद का k = 0 होता है |
| (a + b)⁻¹ या (a + b)^(1/2) को इस तरीके से विस्तार करना | वे अनंत श्रेणियाँ हैं, परिमित योग नहीं — Taylor Series Calculator देखें |
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- (a + b)^n का विस्तार कैसे करें?
- C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ को k = 0 से n तक जोड़ें। गुणांक C(n, k) पास्कल त्रिभुज की पंक्ति n से आते हैं। (x + 1)⁴ के लिए गुणांक 1, 4, 6, 4, 1 x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1 देते हैं।
- द्विपद विस्तार का कोई विशिष्ट पद कैसे खोजें?
- सामान्य पद T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ का उपयोग करें। चौथे पद में k = 3 है। यदि आपको xᵖ वाला पद चाहिए, तो पद k में x की घात लिखें, उसे p के बराबर रखें, k हल करें, और फिर वह पद निकालें।
- x से स्वतंत्र (बिना x वाला) पद कैसे खोजें?
- सामान्य पद में x की घात को k के फलन के रूप में लिखें, उसे 0 रखें, और k हल करें। यदि k 0 से n तक की पूर्ण संख्या है, तो स्थिर पद C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ है; यदि नहीं, तो कोई स्थिर पद नहीं है। यह अपने-आप करने के लिए कैलकुलेटर में p = 0 लिखें।
- द्विपद विस्तार में कितने पद होते हैं?
- (a + b)ⁿ के लिए n + 1 पद, k = 0 से k = n तक। जब a और b में एक ही चर हो, तो कुछ पद मिल सकते हैं या शून्य हो सकते हैं। (x + x)ⁿ एक ही पद में सिमट जाता है, 2ⁿxⁿ।
- गुणांकों का योग क्या है?
- हर चर को 1 रखें: (ax + b)ⁿ के गुणांकों का योग (a + b)ⁿ है। (2x + 3)⁵ के लिए वह 5⁵ = 3125 है। यह आपके विस्तार की त्वरित जाँच है।
- क्या घात ऋणात्मक या भिन्न हो सकती है?
- परिमित द्विपद प्रमेय के साथ नहीं। (1 + x)⁻¹ और (1 + x)^(1/2) अनंत श्रेणियों में फैलते हैं, जो |x| < 1 होने पर मान्य हैं, और Taylor Series Calculator इन्हें संभालता है। 0 से 100 तक की पूर्ण-संख्या घातों के लिए यह कैलकुलेटर सटीक परिमित विस्तार देता है।
- यह पास्कल त्रिभुज से कैसे जुड़ा है?
- पास्कल त्रिभुज की पंक्ति n में C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) होते हैं, जो ठीक उन गुणांकों के बराबर हैं जब a और b का गुणांक 1 हो। Pascal's Triangle Generator जितनी चाहें पंक्तियाँ छापता है।