이항 전개 계산기
이항식의 두 항과 거듭제곱 n을 입력하면 정확한 계수를 가진 (a + b)ⁿ의 전개식, 모든 항의 표, 일반항 공식을 얻습니다. 3번째 항을 묻거나, x⁴의 계수 또는 x가 없는 항을 구할 수 있습니다. 항은 숫자, 문자 x, 또는 둘 다일 수 있습니다 — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
숫자, 변수, 또는 둘 다: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. 문자는 하나만 쓰세요.
0부터 100까지의 정수입니다.
1부터 n + 1까지, 첫 항부터 셉니다.
p를 입력하세요. x가 없는 항은 0을 쓰세요.
결과
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
(2x + 3)⁵의 전개
6
결합 후의 항
3125
계수의 합
일반항
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, k = 0, 1, …, 5
모든 변수를 1로 놓으면 전개식은 하나의 수가 됩니다: (2 + 3)⁵ = 3125.
3번째 항
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
항별 표
| k | C(n, k) | a 부분 | b 부분 | 항 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
이항 전개 계산기 사용 방법
- 1. 두 항을 입력하세요. a와 b를 종이에 쓰듯 입력합니다:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. 항은 문자 하나를 쓸 수 있고, 두 항은 같은 문자이거나 다른 문자일 수 있습니다. b의 부호는 b에 넣으세요: (x − 2)ⁿ에는-2를 입력합니다. - 2. 거듭제곱을 입력하세요. 0부터 100까지의 임의의 정수입니다.
- 3. 필요하면 항 하나를 찾아보세요. 항 번호를 입력하면 그 항이 어떻게 만들어지는지 보고, 거듭제곱 p를 입력하면 xᵖ의 계수를 얻습니다. x가 없는 항은 0을 쓰세요.
- 4. 결과를 읽으세요. 맨 위에 전개식이 나오고, 계수의 합, 일반항 공식, 그리고 각 항의 이항 계수와 a, b 부분을 보여 주는 표가 있습니다.
이항 정리
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
첫 항에서 마지막 항으로 가면서 a의 거듭제곱은 n에서 0으로 줄고, b의 거듭제곱은 0에서 n으로 늘며, 두 거듭제곱의 합은 항상 n입니다. 계수 C(n, k)는 파스칼 삼각형의 n번째 행의 값입니다. n = 4일 때 1, 4, 6, 4, 1입니다. 일반항, 즉 (k + 1)번째 항은 T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ이며, (a + b)ⁿ의 전개식은 같은 문자의 항이 합쳐지기 전에 n + 1개의 항을 가집니다.
작업 예시
- (2x + 3)⁵. 계수는 1, 5, 10, 10, 5, 1이고, 각 항은 (2x)⁵⁻ᵏ와 3ᵏ를 사용합니다: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. 3번째 항은 C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³입니다. 검산으로 x = 1을 대입하면 (2 + 3)⁵ = 3125이며, 이것이 바로 계수의 합입니다.
- (x − 2)³. b = −2이므로 부호가 번갈아 나타납니다: x³ − 6x² + 12x − 8.
- (1 + x)¹⁰에서 x³의 계수. a = 1, b = x, n = 10을 입력하고 p = 3을 구하세요. 항은 C(10, 3)·1⁷·x³이므로 계수는 120입니다.
- (x² + 1/x)⁶에서 x가 없는 항. a에
x^2, b에x^-1을 입력하세요. k번째 항에서 x의 거듭제곱은 2(6 − k) − k = 12 − 3k입니다. k = 4일 때 0이므로, 상수항은 C(6, 4) = 15입니다.
| 흔한 실수 | 올바른 방법 |
|---|---|
| (2x)⁵를 2x⁵으로 쓰기 | 항 전체를 거듭제곱해야 합니다: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| b의 부호를 잃기 | (x − 2)ⁿ을 (x + (−2))ⁿ으로 보므로, b의 홀수 거듭제곱은 음수입니다 |
| 공식에서 항 번호를 1부터 세기 | 항 번호 r은 k = r − 1을 사용하므로, 첫 항은 k = 0입니다 |
| (a + b)⁻¹ 또는 (a + b)^(1/2)를 이 방식으로 전개하기 | 이런 전개는 유한 합이 아니라 무한 급수이므로, 테일러 급수 계산기를 참고하세요 |
자주 묻는 질문
- (a + b)^n은 어떻게 전개하나요?
- C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ를 k = 0부터 n까지 모두 더하세요. 계수 C(n, k)는 파스칼 삼각형의 n번째 행에서 나옵니다. (x + 1)⁴의 경우 계수 1, 4, 6, 4, 1로 x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1이 됩니다.
- 이항 전개에서 특정 항은 어떻게 찾나요?
- 일반항 T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ를 사용하세요. 4번째 항은 k = 3입니다. 대신 xᵖ를 포함하는 항을 찾으려면, 항 k에서 x의 거듭제곱을 구해 p와 같다고 놓고 k를 푼 다음, 그 항을 계산하세요.
- x와 무관한 항은 어떻게 구하나요?
- 일반항에서 x의 거듭제곱을 k의 함수로 쓰고 0으로 놓은 뒤 k를 푸세요. k가 0부터 n까지의 정수이면 상수항은 C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ이며, 정수가 아니면 상수항은 없습니다. 계산기에 p = 0을 입력하면 자동으로 구해집니다.
- 이항 전개는 몇 개의 항을 가지나요?
- (a + b)ⁿ은 k = 0부터 k = n까지 n + 1개의 항을 가집니다. a와 b가 같은 문자를 포함하면 일부 항이 합쳐지거나 사라질 수 있습니다. (x + x)ⁿ은 하나의 항 2ⁿxⁿ로 줄어듭니다.
- 계수의 합은 무엇인가요?
- 모든 변수를 1로 놓으세요. (ax + b)ⁿ 계수의 합은 (a + b)ⁿ입니다. (2x + 3)⁵의 경우 5⁵ = 3125입니다. 전개가 맞는지 빠르게 확인할 수 있습니다.
- 거듭제곱이 음수이거나 분수일 수 있나요?
- 유한 이항 정리로는 안 됩니다. (1 + x)⁻¹이나 (1 + x)^(1/2)는 |x| < 1일 때 성립하는 무한 급수로 전개되며, 이는 테일러 급수 계산기가 다룹니다. 이 계산기는 0부터 100까지의 정수 거듭제곱에 대해 정확한 유한 전개를 제공합니다.
- 파스칼 삼각형과는 어떤 관계인가요?
- 파스칼 삼각형의 n번째 행은 C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n)을 나열하는데, a와 b의 계수가 1일 때 이것이 바로 (a + b)ⁿ의 계수입니다. 파스칼 삼각형 생성기는 원하는 만큼 행을 출력합니다.