حاسبة مفكوك ذي الحدين
أدخل حدّي ذي الحدين والأس n لتحصل على المفكوك الكامل لـ (a + b)ⁿ بمعاملات دقيقة، وجدول لكل حد، وصيغة الحد العام. اطلب الحد الثالث، أو معامل x⁴، أو الحد الخالي من x. ويمكن أن تكون الحدود أعدادًا، أو حرفًا مثل x، أو كليهما — 2x، −3y²، x⁻¹، 1/2. مجانية دون تسجيل.
عدد أو متغير أو كليهما: 2x، −3y، x^2، 1/2، x^-1. حرف واحد فقط.
عدد صحيح من 0 إلى 100.
من 1 إلى n + 1، مبتدئًا من الحد الأول.
أدخل p. استخدم 0 للحد الذي لا يحتوي x.
النتائج
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
مفكوك (2x + 3)⁵
6
الحدود بعد الجمع
3125
مجموع المعاملات
الحد العام
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k، لـ k = 0، 1، …، 5
بجعل كل متغير مساويًا 1 يتحول المفكوك إلى عدد: (2 + 3)⁵ = 3125.
الحد 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
حدًا بحدّ
| k | C(n, k) | جزء a | جزء b | الحد |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
كيفية استخدام حاسبة مفكوك ذي الحدين
- 1. أدخل الحدين. اكتب a وb كما تكتبهما على الورق:
2x،-3y^2،x^-1،1/2،(3/4)x. يمكن أن يستخدم الحد حرفًا واحدًا، ويمكن أن يستخدم الحدان الحرف نفسه أو حرفين مختلفين. ضع إشارة b داخل b: لـ (x − 2)ⁿ أدخل-2. - 2. أدخل الأس. أي عدد صحيح من 0 إلى 100.
- 3. اختياريًا، ابحث عن حد واحد. اكتب رقم حد لترى كيف بُني، أو أدخل قوة p لتحصل على معامل xᵖ — واستخدم 0 للحد الذي لا يحتوي x.
- 4. اقرأ النتائج. يظهر المفكوك في الأعلى، مع مجموع معاملاته وصيغة الحد العام، وجدول يبيّن معامل ذي الحدين لكل حد وجزأي a وb فيه.
نظرية ذي الحدين
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
عند الانتقال من الحد الأول إلى الأخير تهبط قوة a من n إلى 0 بينما ترتفع قوة b من 0 إلى n، ومجموع القوتين يساوي n دائمًا. والمعاملات C(n, k) هي مدخلات الصف n من مثلث باسكال: 1، 4، 6، 4، 1 لـ n = 4. والحد العام، أي الحد رقم (k + 1)، هو T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ، ويحتوي مفكوك (a + b)ⁿ على n + 1 حدًا قبل جمع الحدود المتشابهة.
أمثلة تطبيقية
- (2x + 3)⁵. المعاملات هي 1، 5، 10، 10، 5، 1، وكل حد يستخدم (2x)⁵⁻ᵏ و3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. والحد الثالث هو C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. وللتحقق، إذا وضعنا x = 1 نحصل على (2 + 3)⁵ = 3125، وهو بالضبط مجموع المعاملات.
- (x − 2)³. مع b = −2 تتناوب الإشارات: x³ − 6x² + 12x − 8.
- معامل x³ في (1 + x)¹⁰. أدخل a = 1، وb = x، وn = 10، واطلب p = 3. الحد هو C(10, 3)·1⁷·x³، فيكون المعامل 120.
- الحد الخالي من x في (x² + 1/x)⁶. أدخل a =
x^2وb =x^-1. الحد k فيه له x بقوة 2(6 − k) − k = 12 − 3k. وهذه تساوي 0 عندما k = 4، فالحد الثابت هو C(6, 4) = 15.
| خطأ شائع | الطريقة الصحيحة |
|---|---|
| كتابة (2x)⁵ على أنها 2x⁵ | يُرفع الحد كله إلى القوة: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| إضاعة إشارة b | اعتبر (x − 2)ⁿ بصيغة (x + (−2))ⁿ، فتكون القوى الفردية لـ b سالبة |
| عدّ الحدود من 1 في الصيغة | رقم الحد r يستخدم k = r − 1، فالحد الأول له k = 0 |
| فكّ (a + b)⁻¹ أو (a + b)^(1/2) بهذه الطريقة | هذه مفكوكات لامتناهية، أي متسلسلات غير منتهية، لا مجاميع منتهية — انظر حاسبة متسلسلة تايلور |
الأسئلة الشائعة
- كيف أفكّ (a + b)^n؟
- اجمع C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ من k = 0 إلى n. وتأتي المعاملات C(n, k) من الصف n في مثلث باسكال. فلـ (x + 1)⁴ تعطي المعاملات 1، 4، 6، 4، 1 الناتج x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- كيف أجد حدًا معينًا من مفكوك ذي الحدين؟
- استخدم الحد العام T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. فالحد الرابع له k = 3. ولإيجاد الحد الذي يحتوي xᵖ بدلًا من ذلك، اكتب قوة x في الحد k، وساوِها بـ p، واحلّ من أجل k، ثم احسب ذلك الحد.
- كيف أجد الحد غير المعتمد على x؟
- اكتب قوة x في الحد العام بدلالة k، وساوِها بالصفر، واحلّ من أجل k. إذا كانت k عددًا صحيحًا من 0 إلى n، فالحد الثابت هو C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ؛ وإن لم تكن كذلك فلا يوجد حد ثابت. أدخل p = 0 في الحاسبة لتفعل ذلك تلقائيًا.
- كم حدًا في مفكوك ذي الحدين؟
- n + 1 حدًا لـ (a + b)ⁿ، من k = 0 إلى k = n. وقد تتجمع بعض الحدود أو تنعدم حين يحتوي a وb على المتغير نفسه. فـ (x + x)ⁿ يتقلص إلى حد واحد، هو 2ⁿxⁿ.
- ما مجموع المعاملات؟
- ضع كل متغير مساويًا 1: مجموع معاملات (ax + b)ⁿ هو (a + b)ⁿ. ففي (2x + 3)⁵ يكون 5⁵ = 3125. وهذا تحقق سريع من مفكوكك.
- هل يمكن أن يكون الأس سالبًا أو كسرًا؟
- ليس مع نظرية ذي الحدين المنتهية. فـ (1 + x)⁻¹ و(1 + x)^(1/2) تتمددان إلى متسلسلات لامتناهية، صحيحة حين |x| < 1، وهذا ما تعالجه حاسبة متسلسلة تايلور. أما للأسس الصحيحة من 0 إلى 100 فتعطي هذه الحاسبة مفكوكات منتهية دقيقة.
- ما صلة هذا بمثلث باسكال؟
- الصف n من مثلث باسكال يسرد C(n, 0) وC(n, 1) وC(n, n)، وهي بالضبط معاملات (a + b)ⁿ حين يكون معامل a وb هو 1. ويطبع مولّد مثلث باسكال أي عدد من الصفوف تريد.