Kalkulator rozwinięcia dwumianu
Wpisz dwa wyrazy dwumianu i potęgę n, a otrzymasz pełne rozwinięcie (a + b)ⁿ z dokładnymi współczynnikami, tabelę wszystkich wyrazów oraz wzór na wyraz ogólny. Poproś o 3. wyraz, o współczynnik przy x⁴ albo o wyraz bez x. Wyrazy mogą być liczbami, literą jak x lub obiema — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Za darmo, bez rejestracji.
Liczba, zmienna lub oba: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Tylko jedna litera.
Liczba całkowita od 0 do 100.
Od 1 do n + 1, liczone od pierwszego wyrazu.
Wpisz p. Użyj 0 dla wyrazu bez x.
Wyniki
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Rozwinięcie (2x + 3)⁵
6
Wyrazy po połączeniu
3125
Suma współczynników
Wyraz ogólny
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, dla k = 0, 1, …, 5
Ustawienie każdej zmiennej na 1 zamienia rozwinięcie w liczbę: (2 + 3)⁵ = 3125.
Wyraz 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Wyraz po wyrazie
| k | C(n, k) | część a | część b | Wyraz |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Jak korzystać z kalkulatora rozwinięcia dwumianu
- 1. Wpisz dwa wyrazy. Zapisz a i b tak, jak na papierze:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Wyraz może używać jednej litery, a dwa wyrazy mogą używać tej samej albo różnych liter. Znak b wpisz razem z nim: dla (x − 2)ⁿ wpisz-2. - 2. Wpisz potęgę. Dowolna liczba całkowita od 0 do 100.
- 3. Opcjonalnie znajdź jeden wyraz. Wpisz numer wyrazu, aby zobaczyć, jak jest zbudowany, albo potęgę p, aby otrzymać współczynnik przy xᵖ — użyj 0 dla wyrazu bez x.
- 4. Odczytaj wyniki. Rozwinięcie pojawia się na górze, wraz z sumą współczynników, wzorem na wyraz ogólny i tabelą, która pokazuje współczynnik dwumianowy każdego wyrazu oraz jego części a i b.
Twierdzenie dwumianowe
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Idąc od pierwszego wyrazu do ostatniego, potęga a maleje od n do 0, a potęga b rośnie od 0 do n, a obie potęgi zawsze razem dają n. Współczynniki C(n, k) to wyrazy n-tego wiersza trójkąta Pascala: 1, 4, 6, 4, 1 dla n = 4. Wyraz ogólny, czyli (k + 1)-szy wyraz, to T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, a rozwinięcie (a + b)ⁿ ma n + 1 wyrazów, zanim jakiekolwiek wyrazy podobne się połączą.
Przykłady krok po kroku
- (2x + 3)⁵. Współczynniki to 1, 5, 10, 10, 5, 1, a każdy wyraz używa (2x)⁵⁻ᵏ i 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. Trzeci wyraz to C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Jako kontrola: podstawienie x = 1 daje (2 + 3)⁵ = 3125, czyli dokładnie sumę współczynników.
- (x − 2)³. Przy b = −2 znaki się przeplatają: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Współczynnik przy x³ w (1 + x)¹⁰. Wpisz a = 1, b = x, n = 10 i poproś o p = 3. Wyraz to C(10, 3)·1⁷·x³, więc współczynnik to 120.
- Wyraz bez x w (x² + 1/x)⁶. Wpisz a =
x^2, b =x^-1. Wyraz k ma x w potędze 2(6 − k) − k = 12 − 3k. To 0 dla k = 4, więc wyraz stały to C(6, 4) = 15.
| Częsty błąd | Poprawne podejście |
|---|---|
| Zapis (2x)⁵ jako 2x⁵ | Cały wyraz jest podniesiony do potęgi: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Zgubienie znaku b | Traktuj (x − 2)ⁿ jako (x + (−2))ⁿ, więc nieparzyste potęgi b są ujemne |
| Liczenie wyrazów od 1 we wzorze | Numer wyrazu r używa k = r − 1, więc pierwszy wyraz ma k = 0 |
| Rozwijanie (a + b)⁻¹ lub (a + b)^(1/2) w ten sposób | To nieskończone szeregi, a nie skończone sumy — zobacz Kalkulator szeregu Taylora |
Najczęstsze pytania
- Jak rozwinąć (a + b)^n?
- Zsumuj C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ dla k od 0 do n. Współczynniki C(n, k) pochodzą z n-tego wiersza trójkąta Pascala. Dla (x + 1)⁴ współczynniki 1, 4, 6, 4, 1 dają x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Jak znaleźć konkretny wyraz rozwinięcia dwumianu?
- Użyj wyrazu ogólnego T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Czwarty wyraz ma k = 3. Aby znaleźć wyraz zawierający xᵖ, wyznacz potęgę x w wyrazie k, przyrównaj ją do p, rozwiąż względem k i oblicz ten wyraz.
- Jak znaleźć wyraz niezależny od x?
- Zapisz potęgę x w wyrazie ogólnym jako funkcję k, przyrównaj ją do 0 i rozwiąż względem k. Jeśli k jest liczbą całkowitą od 0 do n, wyraz stały to C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; jeśli nie, wyrazu stałego nie ma. Wpisz p = 0 w kalkulatorze, aby zrobić to automatycznie.
- Ile wyrazów ma rozwinięcie dwumianu?
- n + 1 wyrazów dla (a + b)ⁿ, od k = 0 do k = n. Niektóre mogą się połączyć lub zniknąć, gdy a i b zawierają tę samą zmienną. (x + x)ⁿ zwija się do jednego wyrazu, 2ⁿxⁿ.
- Czym jest suma współczynników?
- Podstaw 1 za każdą zmienną: suma współczynników (ax + b)ⁿ to (a + b)ⁿ. Dla (2x + 3)⁵ to 5⁵ = 3125. To szybka kontrola rozwinięcia.
- Czy potęga może być ujemna lub ułamkowa?
- Nie w skończonym twierdzeniu dwumianowym. (1 + x)⁻¹ i (1 + x)^(1/2) rozwijają się w nieskończone szeregi, ważne dla |x| < 1, a takimi zajmuje się Kalkulator szeregu Taylora. Dla potęg całkowitych od 0 do 100 ten kalkulator daje dokładne skończone rozwinięcia.
- Jaki jest związek z trójkątem Pascala?
- Wiersz n trójkąta Pascala wymienia C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), które są dokładnie współczynnikami (a + b)ⁿ, gdy a i b mają współczynnik 1. Generator trójkąta Pascala wypisze tyle wierszy, ile chcesz.