Rechner für die binomische Entwicklung
Geben Sie die beiden Terme eines Binoms und eine Potenz n ein und erhalten Sie die vollständige Entwicklung von (a + b)ⁿ mit exakten Koeffizienten, einer Tabelle aller Terme und der allgemeinen Termformel. Fragen Sie nach dem 3. Term, dem Koeffizienten von x⁴ oder dem Term ohne x. Terme können Zahlen sein, ein Buchstabe wie x oder beides — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Eine Zahl, eine Variable oder beides: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Nur ein Buchstabe.
Eine ganze Zahl von 0 bis 100.
Von 1 bis n + 1, vom ersten Term an gezählt.
Geben Sie p ein. Verwenden Sie 0 für den Term ohne x.
Ergebnisse
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Entwicklung von (2x + 3)⁵
6
Terme nach dem Zusammenfassen
3125
Summe der Koeffizienten
Allgemeiner Term
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, für k = 0, 1, …, 5
Setzt man jede Variable gleich 1, wird die Entwicklung zu einer Zahl: (2 + 3)⁵ = 3125.
Term 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Term für Term
| k | C(n, k) | a-Teil | b-Teil | Term |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
So verwenden Sie den Rechner für die binomische Entwicklung
- 1. Geben Sie die beiden Terme ein. Schreiben Sie a und b so, wie Sie es auf Papier tun würden:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Ein Term darf einen Buchstaben verwenden, und die beiden Terme dürfen denselben oder verschiedene Buchstaben verwenden. Setzen Sie das Vorzeichen von b in b: Für (x − 2)ⁿ geben Sie-2ein. - 2. Geben Sie die Potenz ein. Eine beliebige ganze Zahl von 0 bis 100.
- 3. Suchen Sie optional einen bestimmten Term. Geben Sie eine Termnummer ein, um zu sehen, wie dieser Term aufgebaut ist, oder eine Potenz p, um den Koeffizienten von xᵖ zu erhalten — verwenden Sie 0 für den Term ohne x.
- 4. Lesen Sie die Ergebnisse. Die Entwicklung erscheint oben, mit der Summe ihrer Koeffizienten, der Formel des allgemeinen Terms und einer Tabelle, die den Binomialkoeffizienten und die a- und b-Anteile jedes Terms zeigt.
Der binomische Lehrsatz
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Vom ersten bis zum letzten Term fällt die Potenz von a von n auf 0, während die Potenz von b von 0 auf n steigt, und die beiden Potenzen ergeben immer zusammen n. Die Koeffizienten C(n, k) sind die Einträge der Zeile n im Pascalschen Dreieck: 1, 4, 6, 4, 1 für n = 4. Der allgemeine Term, der (k + 1)-te Term, ist T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, und eine Entwicklung von (a + b)ⁿ hat n + 1 Terme, bevor gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Beispiele
- (2x + 3)⁵. Die Koeffizienten sind 1, 5, 10, 10, 5, 1, und jeder Term verwendet (2x)⁵⁻ᵏ und 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. Der 3. Term ist C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Als Kontrolle ergibt x = 1 den Wert (2 + 3)⁵ = 3125, was genau der Summe der Koeffizienten entspricht.
- (x − 2)³. Mit b = −2 wechseln die Vorzeichen ab: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Koeffizient von x³ in (1 + x)¹⁰. Geben Sie a = 1, b = x, n = 10 ein und fragen Sie nach p = 3. Der Term ist C(10, 3)·1⁷·x³, also ist der Koeffizient 120.
- Der Term ohne x in (x² + 1/x)⁶. Geben Sie a =
x^2und b =x^-1ein. Term k hat x hoch 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Das ist für k = 4 gleich 0, daher ist das konstante Glied C(6, 4) = 15.
| Häufiger Fehler | Richtiger Weg |
|---|---|
| (2x)⁵ als 2x⁵ schreiben | Der ganze Term wird hoch genommen: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Das Vorzeichen von b verlieren | (x − 2)ⁿ als (x + (−2))ⁿ behandeln, sodass ungerade Potenzen von b negativ sind |
| Die Termnummern in der Formel ab 1 zählen | Termnummer r verwendet k = r − 1, daher hat der erste Term k = 0 |
| (a + b)⁻¹ oder (a + b)^(1/2) auf diese Weise entwickeln | Das sind unendliche Reihen statt endlicher Summen — siehe den Rechner für Taylor-Reihen |
Häufig gestellte Fragen
- Wie entwickelt man (a + b)^n?
- Addieren Sie C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ für k = 0 bis n. Die Koeffizienten C(n, k) stammen aus der Zeile n des Pascalschen Dreiecks. Für (x + 1)⁴ ergeben die Koeffizienten 1, 4, 6, 4, 1 die Summe x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Wie finde ich einen bestimmten Term einer binomischen Entwicklung?
- Verwenden Sie den allgemeinen Term T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Der 4. Term hat k = 3. Wenn Sie stattdessen den Term suchen, der xᵖ enthält, bestimmen Sie die Potenz von x im Term k, setzen sie gleich p, lösen nach k auf und berechnen dann diesen Term.
- Wie finde ich den Term, der nicht von x abhängt?
- Schreiben Sie die Potenz von x im allgemeinen Term als Funktion von k, setzen Sie sie gleich 0 und lösen Sie nach k auf. Ist k eine ganze Zahl von 0 bis n, ist das konstante Glied C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; ist sie es nicht, gibt es kein konstantes Glied. Geben Sie im Rechner p = 0 ein, um dies automatisch zu erledigen.
- Wie viele Terme hat eine binomische Entwicklung?
- n + 1 Terme für (a + b)ⁿ, von k = 0 bis k = n. Manche können sich zusammenfassen oder wegfallen, wenn a und b dieselbe Variable enthalten. (x + x)ⁿ fällt auf einen einzigen Term zusammen, 2ⁿxⁿ.
- Was ist die Summe der Koeffizienten?
- Setzen Sie jede Variable gleich 1: Die Summe der Koeffizienten von (ax + b)ⁿ ist (a + b)ⁿ. Für (2x + 3)⁵ ist das 5⁵ = 3125. Das ist eine schnelle Kontrolle Ihrer Entwicklung.
- Kann die Potenz negativ oder ein Bruch sein?
- Nicht mit dem endlichen binomischen Lehrsatz. (1 + x)⁻¹ und (1 + x)^(1/2) entwickeln sich in unendliche Reihen, die für |x| < 1 gelten; der Rechner für Taylor-Reihen behandelt sie. Für ganzzahlige Potenzen von 0 bis 100 liefert dieser Rechner exakte endliche Entwicklungen.
- Welcher Zusammenhang besteht zum Pascalschen Dreieck?
- Die Zeile n des Pascalschen Dreiecks listet C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) auf; das sind genau die Koeffizienten von (a + b)ⁿ, wenn a und b den Koeffizienten 1 haben. Der Generator für das Pascalsche Dreieck druckt beliebig viele Zeilen aus.