Binom Açılımı Hesaplayıcı
Bir binomun iki terimini ve n üssünü girin; (a + b)ⁿ'nin tam açılımını, kesin katsayılarla, her terimin tablosunu ve genel terim formülünü alın. 3. terimi, x⁴'ün katsayısını ya da hiç x içermeyen terimi isteyebilirsiniz. Terimler sayı, x gibi bir harf ya da ikisi birden olabilir — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Ücretsiz, üyelik gerektirmez.
Bir sayı, bir değişken ya da ikisi: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Yalnızca bir harf.
0 ile 100 arasında bir tam sayı.
1 ile n + 1 arası, ilk terimden başlayarak sayılır.
p girin. x içermeyen terim için 0 kullanın.
Sonuçlar
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
(2x + 3)⁵ açılımı
6
Birleştirildikten sonraki terimler
3125
Katsayıların toplamı
Genel terim
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, k = 0, 1, …, 5 için
Her değişkeni 1 almak açılımı bir sayıya dönüştürür: (2 + 3)⁵ = 3125.
Terim 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Terim terim
| k | C(n, k) | a kısmı | b kısmı | Terim |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Binom Açılımı Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. İki terimi girin. a ve b'yi kâğıt üzerinde yazacağınız gibi yazın:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Bir terim tek bir harf kullanabilir; iki terim aynı harfi ya da farklı harfleri kullanabilir. b'nin işaretini b'de yazın: (x − 2)ⁿ için-2girin. - 2. Üssü girin. 0 ile 100 arasındaki herhangi bir tam sayı.
- 3. İsteğe bağlı olarak tek bir terim arayın. Bu terimin nasıl oluştuğunu görmek için bir terim numarası ya da xᵖ'nin katsayısını almak için bir p üssü yazın — x'siz terim için 0 kullanın.
- 4. Sonuçları okuyun. Açılım en üstte, katsayılarının toplamı, genel terim formülü ve her terimin binom katsayısını ile a ve b kısımlarını gösteren bir tabloyla birlikte görünür.
Binom Teoremi
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
İlk terimden son terime giderken a'nın üssü n'den 0'a düşerken b'nin üssü 0'dan n'ye çıkar; iki üs her zaman n'ye toplanır. C(n, k) katsayıları Pascal üçgeninin n. satırındaki girdilerdir: n = 4 için 1, 4, 6, 4, 1. Genel terim, yani (k + 1). terim, T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ'dir ve (a + b)ⁿ açılımı, benzer terimler birleşmeden önce n + 1 terime sahiptir.
Çalışılmış Örnekler
- (2x + 3)⁵. Katsayılar 1, 5, 10, 10, 5, 1'dir ve her terim (2x)⁵⁻ᵏ ile 3ᵏ kullanır: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. 3. terim C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³'tür. Bir kontrol olarak x = 1 alınırsa (2 + 3)⁵ = 3125 elde edilir; bu da tam olarak katsayıların toplamıdır.
- (x − 2)³. b = −2 ile işaretler dönüşümlü olur: x³ − 6x² + 12x − 8.
- (1 + x)¹⁰ içinde x³'ün katsayısı. a = 1, b = x, n = 10 girin ve p = 3 isteyin. Terim C(10, 3)·1⁷·x³'tür, bu yüzden katsayı 120'dir.
- (x² + 1/x)⁶ içinde x'siz terim. a =
x^2, b =x^-1girin. k. terimde x'in üssü 2(6 − k) − k = 12 − 3k'dır. k = 4 için bu 0'dır; bu yüzden sabit terim C(6, 4) = 15'tir.
| Yaygın hata | Doğru yaklaşım |
|---|---|
| (2x)⁵'i 2x⁵ olarak yazmak | Tüm terim üsse yükseltilir: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| b'nin işaretini kaybetmek | (x − 2)ⁿ'i (x + (−2))ⁿ olarak düşünün; böylece b'nin tek üsleri negatiftir |
| Formülde terimleri 1'den saymak | r. terim numarası k = r − 1 kullanır; bu yüzden ilk terimin k = 0'dır |
| (a + b)⁻¹ ya da (a + b)^(1/2)'yi bu yolla açmak | Bu açılımlar sonlu toplam değil, sonsuz serilerdir — Taylor Serisi Hesaplayıcı'ya bakın |
Sık sorulan sorular
- (a + b)ⁿ nasıl açılır?
- k = 0'dan n'ye kadar C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ terimlerini toplayın. C(n, k) katsayıları Pascal üçgeninin n. satırından gelir. (x + 1)⁴ için 1, 4, 6, 4, 1 katsayıları x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1 verir.
- Bir binom açılımının belirli bir terimini nasıl bulurum?
- Genel terimi kullanın: T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. 4. terim k = 3'tür. Bunun yerine xᵖ içeren terimi bulmak için, k. terimdeki x'in üssünü yazın, p'ye eşitleyin, k'yı çözün ve o terimi hesaplayın.
- x'ten bağımsız terimi nasıl bulurum?
- Genel terimdeki x'in üssünü k'nın bir fonksiyonu olarak yazın, 0'a eşitleyin ve k'yı çözün. k, 0 ile n arasında bir tam sayıysa sabit terim C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ'dır; değilse sabit terim yoktur. Bunu otomatik yapmak için hesaplayıcıda p = 0 girin.
- Bir binom açılımının kaç terimi vardır?
- (a + b)ⁿ için k = 0'dan k = n'ye kadar n + 1 terim. a ve b aynı değişkeni içerdiğinde bazı terimler birleşebilir ya da sıfıra inebilir. (x + x)ⁿ tek bir terime, 2ⁿxⁿ'e çöker.
- Katsayıların toplamı nedir?
- Her değişkeni 1 yapın: (ax + b)ⁿ'nin katsayılarının toplamı (a + b)ⁿ'dir. (2x + 3)⁵ için bu 5⁵ = 3125'tir. Açılımınızı hızlıca kontrol etmenin bir yoludur.
- Üs negatif ya da kesir olabilir mi?
- Sonlu binom teoremiyle olamaz. (1 + x)⁻¹ ve (1 + x)^(1/2) sonsuz serilere açılır; bu, |x| < 1 iken geçerlidir ve Taylor Serisi Hesaplayıcı bunu yönetir. 0 ile 100 arasındaki tam sayı üsleri için bu hesaplayıcı kesin sonlu açılımlar verir.
- Bu, Pascal üçgeniyle nasıl ilişkilidir?
- Pascal üçgeninin n. satırı C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) değerlerini listeler; a ve b'nin katsayısı 1 olduğunda bunlar tam olarak (a + b)ⁿ'nin katsayılarıdır. Pascal Üçgeni Oluşturucu istediğiniz kadar satır yazdırır.