二项式展开计算器
输入二项式的两项和指数 n,即可得到 (a + b)ⁿ 的完整展开式,包括精确系数、每一项的表格以及通项公式。可以求第 3 项、x⁴ 的系数,或完全不含 x 的项。各项可以是数字、字母(如 x),或两者兼有——2x、−3y²、x⁻¹、1/2。免费,无需注册。
一个数字、一个变量,或两者兼有:2x、−3y、x^2、1/2、x^-1。只能使用一个字母。
从 0 到 100 的整数。
从 1 到 n + 1,从第一项开始计数。
输入 p。对于不含 x 的项,请使用 0。
结果
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
(2x + 3)⁵ 的展开式
6
合并同类项后的各项
3125
系数之和
通项
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k,k = 0、1、…、5
将每个变量都设为 1,展开式即变为一个数:(2 + 3)⁵ = 3125。
第 3 项
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
逐项列出
| k | C(n, k) | a 部分 | b 部分 | 项 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
如何使用二项式展开计算器
- 1. 输入两项。 按纸上书写的方式写出 a 和 b:
2x、-3y^2、x^-1、1/2、(3/4)x。每一项可以使用一个字母,两项可以使用相同或不同的字母。b 的符号应放在 b 中:对于 (x − 2)ⁿ,输入-2。 - 2. 输入指数。 任意从 0 到 100 的整数。
- 3. 可选:查找某一项。 输入项数可查看该项是如何构成的,或输入幂次 p 以获得 xᵖ 的系数——对于不含 x 的项,请使用 0。
- 4. 阅读结果。 展开式显示在顶部,附有系数之和、通项公式,以及一个表格,其中列出每一项的二项式系数及其 a、b 部分。
二项式定理
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
从第一项到最后一项,a 的幂从 n 降到 0,而 b 的幂从 0 升到 n,两者之和始终为 n。系数 C(n, k) 即帕斯卡三角形第 n 行的各项:当 n = 4 时为 1、4、6、4、1。通项即第 (k + 1) 项,T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ;在合并同类项之前,(a + b)ⁿ 的展开式共有 n + 1 项。
示例
- (2x + 3)⁵。 系数为 1、5、10、10、5、1,每一项使用 (2x)⁵⁻ᵏ 与 3ᵏ:32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243。第 3 项为 C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³。作为检验,令 x = 1 得 (2 + 3)⁵ = 3125,恰好是各系数之和。
- (x − 2)³。 取 b = −2 时符号交替:x³ − 6x² + 12x − 8。
- (1 + x)¹⁰ 中 x³ 的系数。 输入 a = 1、b = x、n = 10,并求 p = 3。该项为 C(10, 3)·1⁷·x³,因此系数为 120。
- (x² + 1/x)⁶ 中不含 x 的项。 输入 a =
x^2、b =x^-1。第 k 项中 x 的指数为 2(6 − k) − k = 12 − 3k。当 k = 4 时指数为 0,因此常数项为 C(6, 4) = 15。
| 常见错误 | 正确做法 |
|---|---|
| 把 (2x)⁵ 写成 2x⁵ | 整个项都要取幂:(2x)⁵ = 32x⁵ |
| 丢失 b 的符号 | 把 (x − 2)ⁿ 视为 (x + (−2))ⁿ,因此 b 的奇数次幂为负 |
| 在公式中从 1 开始数项 | 第 r 项使用 k = r − 1,因此第一项的 k = 0 |
| 用这种方法展开 (a + b)⁻¹ 或 (a + b)^(1/2) | 这些展开是无穷级数,而非有限和——请参见泰勒级数计算器 |
常见问题
- 如何展开 (a + b)^n?
- 把 C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ 对 k = 0 至 n 求和。系数 C(n, k) 取自帕斯卡三角形第 n 行。对于 (x + 1)⁴,系数 1、4、6、4、1 给出 x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1。
- 如何求二项式展开中的某一项?
- 使用通项 T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ。第 4 项的 k = 3。若要求含 xᵖ 的项,则写出第 k 项中 x 的指数,令其等于 p,解出 k,再计算该项。
- 如何求与 x 无关的项?
- 把通项中 x 的指数写成 k 的函数,令其为 0 并解出 k。若 k 是 0 至 n 之间的整数,则常数项为 C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ;若不是整数,则不存在常数项。在计算器中输入 p = 0 即可自动完成。
- 二项式展开有多少项?
- (a + b)ⁿ 有 n + 1 项,从 k = 0 到 k = n。当 a 与 b 含有相同的变量时,某些项可能会合并或消失。(x + x)ⁿ 会合并为单独的一项 2ⁿxⁿ。
- 系数之和是多少?
- 把每个变量都设为 1:(ax + b)ⁿ 的系数之和即 (a + b)ⁿ。对于 (2x + 3)⁵,即 5⁵ = 3125。这是检验展开式的快捷方法。
- 指数可以是负数或分数吗?
- 在有限二项式定理中不行。(1 + x)⁻¹ 与 (1 + x)^(1/2) 展开为无穷级数,在 |x| < 1 时成立,这由泰勒级数计算器处理。对于从 0 到 100 的整数指数,本计算器给出精确的有限展开式。
- 这与帕斯卡三角形有何关系?
- 帕斯卡三角形第 n 行列出 C(n, 0)、C(n, 1)、…、C(n, n),当 a 与 b 的系数均为 1 时,它们恰好是 (a + b)ⁿ 的系数。帕斯卡三角形生成器可以打印任意多行。