Kalkulator Ekspansi Binomial
Masukkan dua suku binomial dan pangkat n, lalu dapatkan jabaran lengkap (a + b)ⁿ dengan koefisien eksak, tabel setiap suku, dan rumus suku umum. Minta suku ke-3, atau koefisien x⁴, atau suku tanpa x sama sekali. Suku bisa berupa angka, huruf seperti x, atau keduanya — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Gratis, tanpa pendaftaran.
Bilangan, variabel, atau keduanya: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Hanya satu huruf.
Bilangan bulat dari 0 hingga 100.
Dari 1 hingga n + 1, dihitung dari suku pertama.
Masukkan p. Gunakan 0 untuk suku tanpa x.
Hasil
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Jabaran dari (2x + 3)⁵
6
Suku setelah digabungkan
3125
Jumlah koefisien
Suku umum
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, untuk k = 0, 1, …, 5
Dengan menyetel setiap variabel menjadi 1, jabaran berubah menjadi bilangan: (2 + 3)⁵ = 3125.
Suku 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Suku demi suku
| k | C(n, k) | bagian a | bagian b | Suku |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Cara Menggunakan Kalkulator Ekspansi Binomial
- 1. Masukkan kedua suku. Tulis a dan b seperti di atas kertas:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Suku boleh memakai satu huruf, dan kedua suku boleh memakai huruf yang sama atau berbeda. Letakkan tanda b di dalam b: untuk (x − 2)ⁿ masukkan-2. - 2. Masukkan pangkat. Bilangan bulat apa pun dari 0 hingga 100.
- 3. Opsional, cari satu suku. Ketik nomor suku untuk melihat bagaimana suku itu dibentuk, atau pangkat p untuk mendapatkan koefisien xᵖ — gunakan 0 untuk suku tanpa x.
- 4. Baca hasilnya. Jabaran muncul di bagian atas, dengan jumlah koefisiennya, rumus suku umum, dan tabel yang menampilkan koefisien binomial setiap suku serta bagian a dan b-nya.
Teorema Binomial
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Dari suku pertama ke suku terakhir, pangkat a turun dari n ke 0 sementara pangkat b naik dari 0 ke n, dan kedua pangkat selalu berjumlah n. Koefisien C(n, k) adalah entri baris ke-n segitiga Pascal: 1, 4, 6, 4, 1 untuk n = 4. Suku umum, yaitu suku ke-(k + 1), adalah T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, dan jabaran (a + b)ⁿ memiliki n + 1 suku sebelum suku sejenis digabungkan.
Contoh Kasus
- (2x + 3)⁵. Koefisiennya 1, 5, 10, 10, 5, 1, dan setiap suku memakai (2x)⁵⁻ᵏ dan 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. Suku ke-3 adalah C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Sebagai pemeriksaan, x = 1 memberi (2 + 3)⁵ = 3125, yang persis jumlah koefisiennya.
- (x − 2)³. Dengan b = −2 tandanya bergantian: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Koefisien x³ dalam (1 + x)¹⁰. Masukkan a = 1, b = x, n = 10, dan minta p = 3. Suku itu adalah C(10, 3)·1⁷·x³, sehingga koefisiennya 120.
- Suku tanpa x dalam (x² + 1/x)⁶. Masukkan a =
x^2, b =x^-1. Suku ke-k memiliki pangkat x sebesar 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Itu 0 ketika k = 4, sehingga suku konstannya adalah C(6, 4) = 15.
| Kesalahan umum | Pendekatan yang benar |
|---|---|
| Menulis (2x)⁵ sebagai 2x⁵ | Seluruh suku dipangkatkan: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Kehilangan tanda b | Perlakukan (x − 2)ⁿ sebagai (x + (−2))ⁿ, sehingga pangkat ganjil b bernilai negatif |
| Menghitung suku dari 1 dalam rumus | Nomor suku r memakai k = r − 1, sehingga suku pertama memiliki k = 0 |
| Menjabarkan (a + b)⁻¹ atau (a + b)^(1/2) dengan cara ini | Itu adalah deret tak hingga, bukan jumlah hingga — lihat Taylor Series Calculator |
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara menjabarkan (a + b)^n?
- Jumlahkan C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ untuk k = 0 sampai n. Koefisien C(n, k) berasal dari baris ke-n segitiga Pascal. Untuk (x + 1)⁴, koefisien 1, 4, 6, 4, 1 memberi x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Bagaimana cara menemukan suku tertentu dalam jabaran binomial?
- Gunakan suku umum T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Suku ke-4 memiliki k = 3. Untuk mencari suku yang memuat xᵖ, hitung pangkat x pada suku ke-k, samakan dengan p, selesaikan untuk k, lalu hitung suku itu.
- Bagaimana cara menemukan suku yang tidak bergantung pada x?
- Tulis pangkat x dalam suku umum sebagai fungsi dari k, samakan dengan 0, dan selesaikan untuk k. Jika k adalah bilangan bulat dari 0 hingga n, suku konstannya adalah C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; jika tidak, tidak ada suku konstan. Masukkan p = 0 di kalkulator untuk melakukannya secara otomatis.
- Berapa banyak suku yang dimiliki jabaran binomial?
- n + 1 suku untuk (a + b)ⁿ, dari k = 0 sampai k = n. Beberapa mungkin tergabung atau hilang ketika a dan b memuat variabel yang sama. (x + x)ⁿ menyusut menjadi satu suku, 2ⁿxⁿ.
- Berapa jumlah koefisiennya?
- Setel setiap variabel menjadi 1: jumlah koefisien (ax + b)ⁿ adalah (a + b)ⁿ. Untuk (2x + 3)⁵ itu 5⁵ = 3125. Ini pemeriksaan cepat untuk jabaran Anda.
- Bisakah pangkatnya negatif atau pecahan?
- Tidak dengan teorema binomial hingga. (1 + x)⁻¹ dan (1 + x)^(1/2) menjabar menjadi deret tak hingga, yang berlaku ketika |x| < 1, dan itu ditangani Taylor Series Calculator. Untuk pangkat bilangan bulat dari 0 hingga 100, kalkulator ini memberi jabaran hingga yang eksak.
- Bagaimana hubungannya dengan segitiga Pascal?
- Baris ke-n segitiga Pascal memuat C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), yang persis merupakan koefisien (a + b)ⁿ ketika a dan b berkoefisien 1. Pascal's Triangle Generator mencetak baris sebanyak yang Anda inginkan.