Công Cụ Khai Triển Nhị Thức
Nhập hai số hạng của một nhị thức và một lũy thừa n, rồi nhận khai triển đầy đủ của (a + b)ⁿ với hệ số chính xác, bảng mọi số hạng và công thức số hạng tổng quát. Hỏi số hạng thứ 3, hoặc hệ số của x⁴, hoặc số hạng không chứa x. Số hạng có thể là số, một chữ cái như x, hoặc cả hai — 2x, −3y², x⁻¹, 1/2. Miễn phí, không cần đăng ký.
Một số, một biến, hoặc cả hai: 2x, −3y, x^2, 1/2, x^-1. Chỉ một chữ cái.
Một số nguyên từ 0 đến 100.
Từ 1 đến n + 1, đếm từ số hạng đầu tiên.
Nhập p. Dùng 0 cho số hạng không có x.
Kết quả
32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243
Khai triển của (2x + 3)⁵
6
Các số hạng sau khi rút gọn
3125
Tổng các hệ số
Số hạng tổng quát
T(k + 1) = C(5, k) · (2x)^(5 − k) · (3)^k, với k = 0, 1, …, 5
Đặt mọi biến bằng 1 sẽ biến khai triển thành một số: (2 + 3)⁵ = 3125.
Số hạng 3
T(3) = C(5, 2) · (2x)³ · (3)² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³
Từng số hạng
| k | C(n, k) | Phần a | Phần b | Số hạng |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 32x⁵ | 1 | 32x⁵ |
| 1 | 5 | 16x⁴ | 3 | 240x⁴ |
| 2 | 10 | 8x³ | 9 | 720x³ |
| 3 | 10 | 4x² | 27 | 1080x² |
| 4 | 5 | 2x | 81 | 810x |
| 5 | 1 | 1 | 243 | 243 |
Cách Sử Dụng Công Cụ Khai Triển Nhị Thức
- 1. Nhập hai số hạng. Viết a và b như trên giấy:
2x,-3y^2,x^-1,1/2,(3/4)x. Một số hạng có thể dùng một chữ cái, và hai số hạng có thể dùng cùng một chữ cái hoặc các chữ cái khác nhau. Đặt dấu của b vào b: với (x − 2)ⁿ, nhập-2. - 2. Nhập lũy thừa. Bất kỳ số nguyên nào từ 0 đến 100.
- 3. Tùy chọn tìm một số hạng. Nhập số thứ tự của số hạng để xem cách số hạng đó được xây dựng, hoặc một lũy thừa p để lấy hệ số của xᵖ — dùng 0 cho số hạng không có x.
- 4. Đọc kết quả. Khai triển hiện ở trên cùng, với tổng các hệ số, công thức số hạng tổng quát và một bảng cho thấy hệ số nhị thức và phần a, phần b của mỗi số hạng.
Định Lý Nhị Thức
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, k = 0, 1, …, n C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)
Đi từ số hạng đầu tiên đến số hạng cuối cùng, lũy thừa của a giảm từ n xuống 0 trong khi lũy thừa của b tăng từ 0 lên n, và hai lũy thừa luôn có tổng bằng n. Các hệ số C(n, k) là các phần tử của hàng n trong tam giác Pascal: 1, 4, 6, 4, 1 với n = 4. Số hạng tổng quát, tức số hạng thứ (k + 1), là T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, và khai triển của (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng trước khi các số hạng đồng dạng được gộp lại.
Ví Dụ Minh Họa
- (2x + 3)⁵. Các hệ số là 1, 5, 10, 10, 5, 1, và mỗi số hạng dùng (2x)⁵⁻ᵏ và 3ᵏ: 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1080x² + 810x + 243. Số hạng thứ 3 là C(5, 2)·(2x)³·3² = 10 × 8x³ × 9 = 720x³. Để kiểm tra, đặt x = 1 cho (2 + 3)⁵ = 3125, đúng bằng tổng các hệ số.
- (x − 2)³. Với b = −2 các dấu xen kẽ: x³ − 6x² + 12x − 8.
- Hệ số của x³ trong (1 + x)¹⁰. Nhập a = 1, b = x, n = 10 và hỏi p = 3. Số hạng là C(10, 3)·1⁷·x³, nên hệ số là 120.
- Số hạng không chứa x trong (x² + 1/x)⁶. Nhập a =
x^2, b =x^-1. Số hạng k có lũy thừa của x bằng 2(6 − k) − k = 12 − 3k. Lũy thừa này bằng 0 khi k = 4, nên số hạng không đổi là C(6, 4) = 15.
| Lỗi thường gặp | Cách làm đúng |
|---|---|
| Viết (2x)⁵ thành 2x⁵ | Cả số hạng được nâng lên lũy thừa: (2x)⁵ = 32x⁵ |
| Quên dấu của b | Coi (x − 2)ⁿ là (x + (−2))ⁿ, nên các lũy thừa lẻ của b mang dấu âm |
| Đếm số hạng từ 1 trong công thức | Số hạng thứ r dùng k = r − 1, nên số hạng đầu tiên có k = 0 |
| Khai triển (a + b)⁻¹ hoặc (a + b)^(1/2) theo cách này | Đó là các chuỗi vô hạn, không phải tổng hữu hạn — xem Công cụ tính chuỗi Taylor |
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm sao để khai triển (a + b)^n?
- Cộng C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ với k từ 0 đến n. Các hệ số C(n, k) lấy từ hàng n của tam giác Pascal. Với (x + 1)⁴, các hệ số 1, 4, 6, 4, 1 cho x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
- Làm sao để tìm một số hạng cụ thể trong khai triển nhị thức?
- Dùng số hạng tổng quát T(k + 1) = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Số hạng thứ 4 có k = 3. Để tìm số hạng chứa xᵖ, hãy tính lũy thừa của x trong số hạng k, đặt nó bằng p, giải tìm k, rồi tính số hạng đó.
- Làm sao để tìm số hạng không chứa x?
- Viết lũy thừa của x trong số hạng tổng quát thành hàm của k, đặt bằng 0 và giải tìm k. Nếu k là số nguyên từ 0 đến n, số hạng không đổi là C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ; nếu không, không có số hạng không đổi. Nhập p = 0 trong công cụ để làm việc này tự động.
- Khai triển nhị thức có bao nhiêu số hạng?
- n + 1 số hạng cho (a + b)ⁿ, từ k = 0 đến k = n. Một số có thể gộp lại hoặc triệt tiêu khi a và b chứa cùng một biến. (x + x)ⁿ thu lại thành một số hạng duy nhất, 2ⁿxⁿ.
- Tổng các hệ số là bao nhiêu?
- Đặt mọi biến bằng 1: tổng các hệ số của (ax + b)ⁿ là (a + b)ⁿ. Với (2x + 3)⁵, đó là 5⁵ = 3125. Đây là cách kiểm tra nhanh khai triển của bạn.
- Lũy thừa có thể là số âm hoặc phân số không?
- Không với định lý nhị thức hữu hạn. (1 + x)⁻¹ và (1 + x)^(1/2) khai triển thành chuỗi vô hạn, hợp lệ khi |x| < 1, và Công cụ tính chuỗi Taylor xử lý được chúng. Với lũy thừa nguyên từ 0 đến 100, công cụ này cho khai triển hữu hạn chính xác.
- Điều này liên quan thế nào đến tam giác Pascal?
- Hàng n của tam giác Pascal liệt kê C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n), chính là các hệ số của (a + b)ⁿ khi a và b đều có hệ số 1. Công cụ Tạo Tam Giác Pascal in được bao nhiêu hàng tùy ý.