Công Cụ Tính Tăng Trưởng Mũ
Chọn tăng trưởng rời rạc, A = P(1 + r)^t, hoặc tăng trưởng liên tục, A = Pe^(rt), tăng trưởng hay suy giảm, rồi giải tìm bất kỳ một trong các đại lượng: lượng cuối, lượng ban đầu, tỷ lệ hoặc thời gian. Bạn cũng nhận được thời gian nhân đôi hoặc chu kỳ bán rã, so sánh với các quy tắc 72, 70 và 69,3, cùng tỷ lệ được viết theo cả hai cách, bảng giá trị và biểu đồ. Miễn phí, không cần đăng ký.
Chỉ dùng cho nhãn, ví dụ năm, ngày hoặc giờ.
Kết quả
1.628,8946
Lượng cuối (A)
1,05
Hệ số mỗi kỳ
+62,89%
Tổng thay đổi
5% mỗi kỳ
Dưới dạng tỷ lệ rời rạc
4,879% mỗi kỳ
Dưới dạng tỷ lệ liên tục
14,2067 kỳ
Thời gian nhân đôi
Cách tính
Biến đổi công thức để tìm ẩn số.
A = P × (1 + r)^t
Thay các số vào.
A = 1.000 × (1 + 0,05)^10 = 1.000 × 1,628895 = 1.628,8946
Hệ số tăng trưởng cho một kỳ là 1,05.
1 + 0,05 = 1,05
Quy tắc 72, 70 và 69,3
Các quy tắc ước tính thời gian nhân đôi hoặc giảm một nửa bằng một hằng số chia cho tỷ lệ tính theo phần trăm. Mỗi quy tắc là một xấp xỉ; thời gian chính xác là ln 2 chia cho ln của hệ số.
| Phương pháp | Thời gian (kỳ) | Sai lệch so với chính xác |
|---|---|---|
| Chính xác | 14,2067 | — |
| Quy tắc 72: 72 / tỷ lệ | 14,4 | +1,36% |
| Quy tắc 70: 70 / tỷ lệ | 14 | -1,45% |
| Quy tắc 69,3: 69,3 / tỷ lệ | 13,86 | -2,44% |
Bảng giá trị
| Thời gian (kỳ) | Lượng | Thay đổi so với ban đầu |
|---|---|---|
| 0 | 1.000 | 0% |
| 1 | 1.050 | +5% |
| 2 | 1.102,5 | +10,25% |
| 3 | 1.157,625 | +15,76% |
| 4 | 1.215,5063 | +21,55% |
| 5 | 1.276,2816 | +27,63% |
| 6 | 1.340,0956 | +34,01% |
| 7 | 1.407,1004 | +40,71% |
| 8 | 1.477,4554 | +47,75% |
| 9 | 1.551,3282 | +55,13% |
| 10 | 1.628,8946 | +62,89% |
Biểu đồ
- A(t)
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Tăng Trưởng Mũ
- 1. Chọn mô hình. Dùng rời rạc khi đại lượng tăng theo một phần trăm cố định một lần mỗi kỳ; dùng liên tục khi nó tăng theo e mũ bằng tỷ lệ nhân với thời gian.
- 2. Chọn tăng trưởng hay suy giảm và đại lượng cần giải. Ô của ẩn số sẽ bị ẩn. Nhập tỷ lệ dưới dạng phần trăm dương: 5 nghĩa là 5%, còn lựa chọn Tăng trưởng hoặc Suy giảm sẽ đặt dấu của nó.
- 3. Điền ba giá trị còn lại. Đơn vị thời gian chỉ là nhãn, nên năm, ngày hay giờ đều được.
- 4. Đọc kết quả. Giá trị đã giải hiện đầu tiên, tiếp theo là hệ số tăng trưởng, thời gian nhân đôi hoặc chu kỳ bán rã, các quy tắc ước lượng, bảng giá trị và biểu đồ.
Hai Mô Hình
| Mô hình | Công thức | Tỷ lệ r nghĩa là | Thời gian nhân đôi |
|---|---|---|---|
| Rời rạc | A = P(1 + r)^t | r là phần thay đổi theo tỷ lệ trong mỗi kỳ; dùng 1 − r cho suy giảm | ln 2 / ln(1 + r) |
| Liên tục | A = Pe^(rt) | r là tỷ lệ tức thời; dùng −r cho suy giảm | ln 2 / r |
P là lượng ban đầu, A là lượng sau thời gian t, và r là tỷ lệ. Hai mô hình mô tả cùng một đường cong khi các tỷ lệ được liên kết với nhau: tỷ lệ rời rạc r tương đương tỷ lệ liên tục k = ln(1 + r), và k tương đương tỷ lệ rời rạc e^k − 1. Tính lãi ngày càng thường xuyên với cùng lãi suất danh nghĩa sẽ cho mô hình liên tục ở giới hạn. Công cụ hiển thị tỷ lệ của bạn dưới cả hai dạng.
Ví Dụ Minh Họa
| Bài toán | Cách tính | Kết quả |
|---|---|---|
| 1.000 tăng 5% mỗi kỳ trong 10 kỳ | 1000 × 1,05¹⁰ | 1.628,8946 |
| Tương tự, nhưng liên tục | 1000 × e^(0,05 × 10) | 1.648,7213 |
| 1.000 giảm 10% mỗi kỳ trong 3 kỳ | 1000 × 0,9³ | 729 |
| Thời gian để 1.000 đạt 2.000 với 8% mỗi kỳ | ln 2 / ln 1,08 | 9,0065 kỳ |
| Tỷ lệ để 1.500 đạt 2.400 trong 8 kỳ | (2400 / 1500)^(1/8) − 1 | 6,0511% mỗi kỳ |
Để giải tìm thời gian hoặc tỷ lệ, biến đổi bằng logarit hoặc căn: t = ln(A / P) / ln(1 + r) và r = (A / P)^(1/t) − 1. Công cụ viết công thức đã biến đổi và các số của bạn trên các dòng riêng.
Chu Kỳ Nhân Đôi, Chu Kỳ Bán Rã và Quy Tắc 72
Với tăng trưởng, thời gian nhân đôi là khoảng thời gian để lượng tăng gấp đôi; với suy giảm, chu kỳ bán rã là khoảng thời gian để lượng giảm một nửa. Cả hai chỉ phụ thuộc vào tỷ lệ, không phụ thuộc vào lượng ban đầu. Quy tắc 72 ước tính thời gian nhân đôi bằng 72 chia cho tỷ lệ tính theo phần trăm. Quy tắc này phổ biến vì 72 chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8, 9 và 12, và chính xác nhất với tỷ lệ rời rạc quanh 8%, khoảng từ 6% đến 10%. Quy tắc 70 phù hợp hơn với tỷ lệ thấp, như lạm phát gần 2%, còn 69,3 là lựa chọn tự nhiên cho tăng trưởng liên tục vì ln 2 ≈ 0,693.
| Trường hợp | Chính xác | Quy tắc 72 | Quy tắc 70 | Quy tắc 69,3 |
|---|---|---|---|---|
| Rời rạc, 8% | 9,0065 | 9 (−0,07%) | 8,75 (−2,85%) | 8,6625 (−3,82%) |
| Rời rạc, 5% | 14,2067 | 14,4 (+1,36%) | 14 (−1,45%) | 13,86 (−2,44%) |
| Liên tục, 5% | 13,8629 | 14,4 (+3,87%) | 14 (+0,99%) | 13,86 (−0,02%) |
Hãy Coi Các Quy Tắc Là Phép Tính Nhẩm
Các quy tắc chỉ là ước tính nhanh, không thể thay thế công thức logarit. Chúng lệch nhiều hơn ở tỷ lệ cao, và với suy giảm chúng còn thô hơn, nên hãy dùng thời gian chính xác khi điều đó quan trọng.
Những Lỗi Thường Gặp
- Gõ 0,05 cho 5%. Ô tỷ lệ nhận phần trăm, nên hãy nhập 5. Nhập 0,05 nghĩa là 0,05%.
- Dùng 1 + r cho suy giảm. Suy giảm 10% mỗi kỳ nhân với 0,9, không phải 1,1. Hãy chọn Suy giảm và công cụ sẽ dùng 1 − r.
- Trộn lẫn đơn vị của tỷ lệ và thời gian. Tỷ lệ 5% mỗi năm cần thời gian tính bằng năm; 5% mỗi tháng cần tính bằng tháng.
- Coi tỷ lệ rời rạc và liên tục là bằng nhau. 5% rời rạc xấp xỉ 4,879% liên tục, nên hai mô hình cho ra các lượng khác nhau với cùng một con số.
- Kỳ vọng lượng ban đầu bằng không hoặc âm vẫn hoạt động. Mô hình cần lượng ban đầu và lượng cuối đều dương, vì logarit chỉ xác định với số dương.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Công thức tăng trưởng mũ là gì?
- Với tăng trưởng theo một phần trăm cố định mỗi kỳ, công thức là A = P(1 + r)^t, trong đó P là lượng ban đầu, r là tỷ lệ mỗi kỳ dưới dạng thập phân, và t là số kỳ. Với tăng trưởng liên tục, công thức là A = Pe^(rt). Suy giảm dùng tỷ lệ âm, nên suy giảm 10% mỗi kỳ nhân với 0,9.
- Làm thế nào để tính thời gian nhân đôi?
- Với tăng trưởng rời rạc, thời gian nhân đôi chính xác là ln 2 / ln(1 + r); với tăng trưởng liên tục, là ln 2 / r. Với 8% mỗi kỳ, con số đó là 9,0065 kỳ. Quy tắc 72 cho một ước tính sát: 72 chia cho tỷ lệ tính theo phần trăm.
- Quy tắc 72 chính xác đến mức nào?
- Nó chính xác nhất với tỷ lệ quanh 8%, và khá tốt từ khoảng 6% đến 10%. Ở 5%, nó cao hơn 1,4% với tăng trưởng rời rạc. Với tăng trưởng liên tục, quy tắc 69,3 gần như chính xác tuyệt đối, và quy tắc 70 tốt hơn 72 ở tỷ lệ thấp.
- Tăng trưởng rời rạc khác tăng trưởng liên tục ở điểm nào?
- Tăng trưởng rời rạc áp dụng tỷ lệ một lần mỗi kỳ, nên 5% mỗi năm nhân với 1,05 mỗi năm. Tăng trưởng liên tục áp dụng tại mọi thời điểm, là giới hạn của việc tính lãi ngày càng thường xuyên, và nhân với e^0,05 ≈ 1,0513 mỗi năm. Một tỷ lệ rời rạc r tương đương tỷ lệ liên tục ln(1 + r).
- Làm thế nào để tìm tỷ lệ tăng trưởng từ hai giá trị?
- Chọn Tỷ lệ làm ẩn số và nhập lượng ban đầu, lượng cuối và thời gian. Với tăng trưởng rời rạc, r = (A / P)^(1/t) − 1; ví dụ tăng từ 1.500 lên 2.400 trong 8 kỳ là 6,0511% mỗi kỳ. Kết quả âm nghĩa là lượng đang giảm.
- Làm thế nào để tính chu kỳ bán rã?
- Chu kỳ bán rã là thời gian để lượng giảm còn một nửa: ln 2 chia cho độ lớn của tỷ lệ suy giảm liên tục, hoặc ln 2 / −ln(1 − r) cho suy giảm rời rạc r mỗi kỳ. Chọn Suy giảm và nhập tỷ lệ để xem kết quả.
- Tôi có thể dùng công cụ này cho lãi kép hoặc tăng trưởng dân số không?
- Có: cả hai đều là tăng trưởng mũ với tỷ lệ cố định mỗi kỳ. Với lãi có gửi đều đặn, hoặc tính lãi nhiều lần mỗi kỳ, Công Cụ Tính Lãi Kép là lựa chọn sát hơn. Dân số thực tế cuối cùng ngừng tăng trưởng theo cấp số mũ, nên hãy dùng kết quả như một mô hình thay vì một dự báo.