Exponentialwachstumsrechner

Ergebnisse

Der Rechenweg

1. Formen Sie die Formel nach der Unbekannten um.

   A = P × (1 + r)^t

2. Setzen Sie die Zahlen ein.

   A = 1.000 × (1 + 0,05)^10 = 1.000 × 1,628895 = 1.628,8946

3. Der Wachstumsfaktor für eine Periode ist 1,05.

   1 + 0,05 = 1,05

Regel von 72, 70 und 69,3

Die Regeln schätzen die Verdopplungs- oder Halbierungszeit als eine Konstante geteilt durch die Rate in Prozent. Jede ist eine Näherung; die exakte Zeit ist ln 2 geteilt durch den Logarithmus des Faktors.

Wertetabelle

Diagramm

So verwenden Sie den Exponentialwachstumsrechner

1. 1. Wählen Sie das Modell. Verwenden Sie diskret, wenn die Größe in jeder Periode um einen festen Prozentsatz wächst; verwenden Sie stetig, wenn sie mit e hoch Rate mal Zeit wächst.
2. 2. Wählen Sie Wachstum oder Zerfall und die gesuchte Größe. Das Feld für die Unbekannte wird ausgeblendet. Geben Sie die Rate als positiven Prozentsatz ein: 5 bedeutet 5 %, und die Auswahl Wachstum oder Zerfall legt das Vorzeichen fest.
3. 3. Füllen Sie die anderen drei Werte aus. Die Zeiteinheit dient nur als Bezeichnung, daher funktionieren Jahre, Tage oder Stunden.
4. 4. Lesen Sie die Ergebnisse ab. Der gesuchte Wert steht zuerst, gefolgt vom Wachstumsfaktor, der Verdopplungszeit oder Halbwertszeit, den Faustregeln, einer Wertetabelle und einem Diagramm.

Die beiden Modelle

P ist der Anfangsbetrag, A der Betrag nach der Zeit t und r die Rate. Die beiden Modelle beschreiben dieselbe Kurve, wenn die Raten verknüpft sind: Eine diskrete Rate r entspricht einer stetigen Rate k = ln(1 + r), und k entspricht einer diskreten Rate e^k − 1. Verzinst man bei gleichem Nominalzins immer häufiger, ergibt sich im Grenzwert das stetige Modell. Der Rechner zeigt Ihre Rate in beiden Formen.

Beispiele

Um nach Zeit oder Rate aufzulösen, formen Sie mit Logarithmen oder Wurzeln um: t = ln(A / P) / ln(1 + r) und r = (A / P)^(1/t) − 1. Der Rechner schreibt die umgeformte Formel und Ihre Zahlen in getrennten Zeilen.

Verdopplungszeit, Halbwertszeit und die Regel von 72

Bei Wachstum ist die Verdopplungszeit die Zeit, in der sich der Betrag verdoppelt; bei Zerfall ist die Halbwertszeit die Zeit, in der er sich halbiert. Beide hängen nur von der Rate ab, nicht vom Anfangsbetrag. Die Regel von 72 schätzt die Verdopplungszeit als 72 geteilt durch die Rate in Prozent. Sie ist beliebt, weil 72 durch 2, 3, 4, 6, 8, 9 und 12 teilbar ist, und sie ist am genauesten für diskrete Raten nahe 8 %, etwa 6 % bis 10 %. Die Regel von 70 passt besser zu niedrigeren Raten, etwa Inflation nahe 2 %, und 69,3 ist die natürliche Wahl für stetiges Wachstum, weil ln 2 ≈ 0,693 ist.

Häufige Fehler

• 0,05 für 5 % eingeben. Das Ratenfeld nimmt einen Prozentsatz, also geben Sie 5 ein. Die Eingabe von 0,05 bedeutet 0,05 %.
• 1 + r für Zerfall verwenden. Ein Zerfall von 10 % pro Periode multipliziert mit 0,9, nicht mit 1,1. Wählen Sie Zerfall, dann verwendet der Rechner 1 − r.
• Die Einheiten von Rate und Zeit vermischen. Eine Rate von 5 % pro Jahr braucht die Zeit in Jahren; 5 % pro Monat braucht Monate.
• Diskrete und stetige Raten für gleich halten. 5 % diskret sind etwa 4,879 % stetig, daher ergeben die beiden Modelle für dieselbe Zahl unterschiedliche Beträge.
• Erwarten, dass ein Anfangsbetrag null oder negativ funktioniert. Das Modell braucht einen positiven Anfangs- und Endbetrag, weil Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Formel für exponentielles Wachstum?

Für Wachstum um einen festen Prozentsatz je Periode gilt A = P(1 + r)^t, wobei P der Anfangsbetrag ist, r die Rate je Periode als Dezimalzahl und t die Anzahl der Perioden. Für stetiges Wachstum gilt A = Pe^(rt). Zerfall verwendet eine negative Rate, also multipliziert ein Zerfall von 10 % je Periode mit 0,9.

Wie berechne ich die Verdopplungszeit?

Für diskretes Wachstum ist die exakte Verdopplungszeit ln 2 / ln(1 + r); für stetiges Wachstum ist sie ln 2 / r. Bei 8 % je Periode sind das 9,0065 Perioden. Die Regel von 72 liefert eine gute Schätzung: 72 geteilt durch die Rate in Prozent.

Wie genau ist die Regel von 72?

Sie ist am genauesten für Raten um 8 % und gut von etwa 6 % bis 10 %. Bei 5 % liegt sie für diskretes Wachstum 1,4 % zu hoch. Für stetiges Wachstum ist die Regel von 69,3 nahezu exakt, und die Regel von 70 ist bei niedrigen Raten besser als die von 72.

Worin unterscheiden sich diskretes und stetiges Wachstum?

Diskretes Wachstum wendet die Rate einmal je Periode an, also multipliziert 5 % pro Jahr jedes Jahr mit 1,05. Stetiges Wachstum wendet sie zu jedem Zeitpunkt an — das ist der Grenzwert immer häufigeren Verzinsens — und multipliziert jedes Jahr mit e^0,05 ≈ 1,0513. Eine diskrete Rate r entspricht einer stetigen Rate ln(1 + r).

Wie finde ich die Wachstumsrate aus zwei Werten?

Wählen Sie Rate als gesuchte Größe und geben Sie Anfangsbetrag, Endbetrag und Zeit ein. Für diskretes Wachstum gilt r = (A / P)^(1/t) − 1; zum Beispiel ist das Wachstum von 1.500 auf 2.400 in 8 Perioden 6,0511 % je Periode. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Betrag fällt.

Wie berechne ich die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der der Betrag auf die Hälfte fällt: ln 2 geteilt durch die Größe der stetigen Zerfallsrate oder ln 2 / −ln(1 − r) bei einem diskreten Zerfall von r je Periode. Wählen Sie Zerfall und geben Sie die Rate ein, um sie zu sehen.

Kann ich das für Zinseszins oder Bevölkerungswachstum verwenden?

Ja: Beides ist exponentielles Wachstum mit einer festen Rate je Periode. Für Zinsen mit regelmäßigen Einzahlungen oder mit Verzinsung mehrmals je Periode passt der Zinseszinsrechner besser. Echte Populationen hören irgendwann auf, exponentiell zu wachsen; verwenden Sie das Ergebnis daher als Modell und nicht als Prognose.