Kreisrechner
Geben Sie einen beliebigen Wert von Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche eines Kreises ein und erhalten Sie die übrigen drei — exakt in Abhängigkeit von π, mit Dezimalwert und jedem Rechenschritt. Anschließend können Sie einen Zentriwinkel hinzufügen, um Bogenlänge, Sektorfläche, Sehne, Kreissegment und Pfeilhöhe mit einer beschrifteten Abbildung zu erhalten. Kostenlos, ohne Anmeldung; er läuft in Ihrem Browser.
Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 3/4. Umfang und Fläche dürfen als Vielfaches von π geschrieben werden, etwa 10π, damit die Lösung exakt bleibt.
Ergebnisse
| Größe | Exakt | Dezimal |
|---|---|---|
| Radius (r) | 5 cm | 5 cm |
| Durchmesser (d) | 10 cm | 10 cm |
| Umfang (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Fläche (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Der Rechenweg
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Bogen, Sektor, Sehne und Segment
Diese Werte verwenden den oben ermittelten Radius.
| Größe | Exakt | Dezimal |
|---|---|---|
| Bogenlänge (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Sektorfläche | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Sehnenlänge (c) | 5 cm | 5 cm |
| Segmentfläche | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Segmenthöhe (Pfeilhöhe) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Sektorumfang | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Segmentumfang | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Rechenweg für den Winkel
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Abbildung
So verwenden Sie den Kreisrechner
- 1. Geben Sie an, was Sie wissen. Wählen Sie Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche und tippen Sie den Wert ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 3/4 werden exakt eingelesen.
- 2. Bleiben Sie mit π exakt. Umfang oder Fläche können als Vielfaches von π eingegeben werden, etwa 10π oder 25π, und der Radius ergibt sich als saubere Zahl. Als reine Zahl eingegeben, ergibt ein Umfang von 10 den Wert r = 5/π.
- 3. Lesen Sie die vier Größen ab. Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche erscheinen in exakter Form und als Dezimalzahlen, gerundet auf die Stellen, die Sie wählen, darunter der Rechenweg.
- 4. Fügen Sie einen Zentriwinkel hinzu. Geben Sie ihn in Grad oder im Bogenmaß als Vielfaches von π ein, etwa pi/3. Danach folgen Bogen, Sektor, Sehne, Segment und Pfeilhöhe, gezeichnet auf einem beschrifteten Kreis.
Kreisformeln
| Gesucht | Formel | Hinweise |
|---|---|---|
| Durchmesser | d = 2r | Das Doppelte des Radius |
| Umfang | C = 2πr = πd | Die Strecke um den Kreis herum |
| Fläche | A = πr² | Die Fläche innerhalb des Kreises |
| Radius aus dem Umfang | r = C / (2π) | Umgestellt aus C = 2πr |
| Radius aus der Fläche | r = √(A / π) | Umgestellt aus A = πr² |
| Fläche aus dem Umfang | A = C² / (4π) | Setzt r = C / (2π) ein |
Die Zahl π ist das Verhältnis des Umfangs jedes Kreises zu seinem Durchmesser, etwa 3,14159. Sie ist irrational, daher wird die exakte Lösung der meisten Kreisaufgaben mit π angegeben — 25π statt 78,5398… — und erst am Ende gerundet.
Bogen, Sektor, Sehne und Segment
Ein Zentriwinkel θ zerlegt den Kreis in Teile. Messen Sie θ im Bogenmaß (180° = π im Bogenmaß), denn dann sind die Formeln am übersichtlichsten.
| Teil | Formel | Was es ist |
|---|---|---|
| Bogenlänge | s = r × θ | Der gekrümmte Rand zwischen den beiden Radien |
| Sektorfläche | ½ × r² × θ | Das Stück vom Mittelpunkt bis zum Bogen |
| Sehne | c = 2r × sin(θ / 2) | Die gerade Linie zwischen den Bogenenden |
| Segmentfläche | ½ × r² × (θ − sin θ) | Die Fläche zwischen Sehne und Bogen |
| Pfeilhöhe (Sagitta) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | Die Höhe des Segments |
Das Segment ist der Sektor abzüglich des Dreiecks aus den beiden Radien und der Sehne, dessen Fläche ½r² sin θ beträgt — daher stammt θ − sin θ. Für θ über 180° gelten die Formeln weiterhin: Das „Segment“ ist dann das größere Teilstück, und seine Pfeilhöhe übersteigt den Radius.
Beispiele
- Aus dem Radius. r = 5 ergibt d = 10, C = 10π ≈ 31,42 und A = 25π ≈ 78,54.
- Aus einem Umfang. C = 10 ergibt r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59 und A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Als 10π eingegeben, hat derselbe Kreis r = 5.
- Ein 60°-Sektor mit Radius 3. θ = π/3, daher ist der Bogen π ≈ 3,14, der Sektor 3π/2 ≈ 4,71 und die Sehne 2 × 3 × sin 30° = 3 — gleich dem Radius, weil das Dreieck gleichseitig ist.
- Das dazugehörige Segment. Segmentfläche = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, und die Pfeilhöhe beträgt 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Exakte Sehnen und Segmente erscheinen, wenn sin(θ/2) bzw. sin θ eine geschlossene Form haben — also für Winkel, die Vielfache von 30° bzw. 15° sind. Bei anderen Winkeln wie 50° sind Bogen und Sektor weiterhin exakt, Sehne und Segment werden aber als Dezimalzahlen angegeben.
Häufige Fehler
- Den Durchmesser in einer Formel verwenden, die den Radius braucht: A = πr², nicht πd².
- Mit Grad rechnen in s = rθ oder ½r²θ, die das Bogenmaß brauchen; der Rechner rechnet für Sie um.
- Den Sektor (ein Stück, das bis zum Mittelpunkt reicht) mit dem Segment (der durch eine Sehne abgeschnittenen Kappe) verwechseln.
- π zu früh auf 3,14 runden: Die exakte Lösung 25π und der Dezimalwert 78,54 unterscheiden sich um etwa 0,04.
Häufig gestellte Fragen
- Wie findet man die Fläche eines Kreises aus seinem Umfang?
- Zuerst den Radius bestimmen, r = C / (2π), dann A = πr² verwenden. Zusammengefasst ergibt das A = C² / (4π). Ein Umfang von 10 ergibt eine Fläche von 100 / (4π) = 25/π, etwa 7,96.
- Was ist der Unterschied zwischen Radius und Durchmesser?
- Der Radius verläuft vom Mittelpunkt bis zum Rand; der Durchmesser verläuft ganz über den Kreis durch den Mittelpunkt, also d = 2r. Flächenformeln verwenden den Radius, während C = πd den Durchmesser verwendet.
- Wie berechnet man die Bogenlänge eines Kreises?
- Multiplizieren Sie den Radius mit dem Zentriwinkel im Bogenmaß: s = rθ. Ist der Winkel in Grad angegeben, nehmen Sie den Anteil an einer vollen Umdrehung: s = (θ / 360°) × 2πr. Ein 60°-Bogen eines Kreises mit Radius 3 ist π lang.
- Was ist der Unterschied zwischen Sektor und Segment?
- Ein Sektor ist das Stück, das von zwei Radien und dem Bogen begrenzt wird, wie ein Stück Pizza. Ein Segment ist die Fläche zwischen einer Sehne und dem Bogen, den sie abschneidet. Das Segment ist der Sektor abzüglich des Dreiecks aus den beiden Radien und der Sehne.
- Wie berechnet man die Länge einer Sehne?
- c = 2r × sin(θ / 2), wobei θ der Zentriwinkel ist. Kennen Sie stattdessen den Abstand d der Sehne vom Mittelpunkt, gilt nach dem Satz des Pythagoras c = 2√(r² − d²). Eine Sehne von 180° ist ein Durchmesser.
- Was ist die Pfeilhöhe eines Kreissegments?
- Die Pfeilhöhe ist die Höhe des Segments: der Abstand vom Mittelpunkt der Sehne bis zum Mittelpunkt des Bogens, h = r × (1 − cos(θ / 2)). Sie ist die „Wölbung“ eines Bogens oder einer Linse.
- Warum zeigt der Rechner π statt eines Dezimalwerts?
- Weil π irrational ist, ist jeder Dezimalwert eine Näherung, und er verbirgt außerdem die Struktur des Ergebnisses. 25π hält das Ergebnis für die weitere Arbeit exakt; der Dezimalwert wird daneben angezeigt, wenn Sie eine Zahl zum Messen brauchen.