Калькулятор окружности
Введите любое одно из значений круга — радиус, диаметр, длину окружности или площадь — и получите остальные три: точно через π, с десятичным значением и каждым шагом. Затем добавьте центральный угол, чтобы найти длину дуги, площадь сектора, хорду, круговой сегмент и высоту сегмента, с подписанным рисунком. Бесплатно, без регистрации; работает в вашем браузере.
Целые числа, десятичные дроби и дроби вида 3/4. Длину окружности и площадь можно записать как кратное π, например 10π, чтобы сохранить точный ответ.
Результаты
| Величина | Точно | Десятичное |
|---|---|---|
| Радиус (r) | 5 cm | 5 cm |
| Диаметр (d) | 10 cm | 10 cm |
| Длина окружности (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Площадь (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Ход вычислений
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Дуга, сектор, хорда и сегмент
Здесь используется радиус, найденный выше.
| Величина | Точно | Десятичное |
|---|---|---|
| Длина дуги (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Площадь сектора | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Длина хорды (c) | 5 cm | 5 cm |
| Площадь сегмента | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Высота сегмента (стрела) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Периметр сектора | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Периметр сегмента | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Ход вычислений для угла
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Рисунок
Как пользоваться калькулятором окружности
- 1. Укажите, что вам известно. Выберите радиус, диаметр, длину окружности или площадь и введите значение. Целые числа, десятичные дроби и дроби вида 3/4 читаются точно.
- 2. Сохраните точность через π. Длину окружности или площадь можно ввести как кратное π, например 10π или 25π, и радиус получится аккуратным числом. Если ввести длину окружности 10 обычным числом, получим r = 5/π.
- 3. Прочитайте четыре величины. Радиус, диаметр, длина окружности и площадь появляются в точном виде и в виде десятичных дробей, округлённых до нужного числа знаков, с ходом вычислений под ними.
- 4. Добавьте центральный угол. Введите его в градусах или в радианах как кратное π, например pi/3. Затем появятся дуга, сектор, хорда, сегмент и стрела, нарисованные на подписанной окружности.
Формулы окружности
| Найти | Формула | Примечания |
|---|---|---|
| Диаметр | d = 2r | Вдвое больше радиуса |
| Длина окружности | C = 2πr = πd | Расстояние по окружности |
| Площадь | A = πr² | Площадь внутри круга |
| Радиус по длине окружности | r = C / (2π) | Выражение из C = 2πr |
| Радиус по площади | r = √(A / π) | Выражение из A = πr² |
| Площадь по длине окружности | A = C² / (4π) | Подстановка r = C / (2π) |
Число π — отношение длины любой окружности к её диаметру, примерно 3,14159. Оно иррационально, поэтому точный ответ большинства задач на окружность записывается с π — 25π, а не 78,5398… — и округляется только в самом конце.
Дуга, сектор, хорда и сегмент
Центральный угол θ делит окружность на части. Измеряйте θ в радианах (180° = π радиан) — так формулы самые простые.
| Элемент | Формула | Что это |
|---|---|---|
| Длина дуги | s = r × θ | Изогнутая граница между двумя радиусами |
| Площадь сектора | ½ × r² × θ | Часть круга от центра до дуги |
| Хорда | c = 2r × sin(θ / 2) | Прямая, соединяющая концы дуги |
| Площадь сегмента | ½ × r² × (θ − sin θ) | Область между хордой и дугой |
| Стрела | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | Высота сегмента |
Сегмент — это сектор минус треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, площадь которого равна ½r² sin θ; отсюда и берётся θ − sin θ. Для θ больше 180° формулы по-прежнему верны: «сегмент» тогда — большая часть круга, а стрела превышает радиус.
Примеры работы
- По радиусу. r = 5 даёт d = 10, C = 10π ≈ 31,42 и A = 25π ≈ 78,54.
- По длине окружности. C = 10 даёт r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59, а A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Если ввести 10π, та же окружность имеет r = 5.
- Сектор 60° радиуса 3. θ = π/3, поэтому дуга равна π ≈ 3,14, сектор — 3π/2 ≈ 4,71, а хорда равна 2 × 3 × sin 30° = 3, то есть совпадает с радиусом, потому что треугольник равносторонний.
- Его сегмент. Площадь сегмента = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, а стрела равна 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Точные значения хорды и сегмента получаются, когда sin(θ/2) и sin θ имеют замкнутый вид — то есть для углов, кратных соответственно 30° и 15°. Для других углов, например 50°, дуга и сектор по-прежнему точные, а хорда и сегмент даются десятичными дробями.
Типичные ошибки
- Использование диаметра в формуле, которая требует радиус: A = πr², а не πd².
- Расчёт с градусами в формулах s = rθ или ½r²θ, которые требуют радианы; калькулятор переводит их за вас.
- Путаница сектора (части круга, доходящей до центра) с сегментом (сегментом, отсечённым хордой).
- Раннее округление π до 3,14: точный ответ 25π и десятичное 78,54 отличаются примерно на 0,04.
Часто задаваемые вопросы
- Как найти площадь круга по длине окружности?
- Сначала найдите радиус, r = C / (2π), затем используйте A = πr². Объединив их, получим A = C² / (4π). При длине окружности 10 площадь равна 100 / (4π) = 25/π, примерно 7,96.
- Чем радиус отличается от диаметра?
- Радиус идёт от центра до края, а диаметр проходит через центр от края до края, поэтому d = 2r. Формулы площади используют радиус, а C = πd использует диаметр.
- Как найти длину дуги окружности?
- Умножьте радиус на центральный угол в радианах: s = rθ. Если угол дан в градусах, возьмите долю полного оборота: s = (θ / 360°) × 2πr. Дуга 60° окружности радиуса 3 равна π.
- Чем сектор отличается от сегмента?
- Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, как кусок пиццы. Сегмент — область между хордой и дугой, которую она отсекает. Сегмент — это сектор минус треугольник, образованный двумя радиусами и хордой.
- Как найти длину хорды?
- c = 2r × sin(θ / 2), где θ — центральный угол. Если вам известно расстояние d от хорды до центра, то c = 2√(r² − d²) по теореме Пифагора. Хорда в 180° — это диаметр.
- Что такое стрела кругового сегмента?
- Стрела — высота сегмента: расстояние от середины хорды до середины дуги, h = r × (1 − cos(θ / 2)). Это «выгиб» арки или линзы.
- Почему калькулятор показывает π, а не десятичную дробь?
- Потому что π иррационально, поэтому любая десятичная запись — приближение, а точная форма показывает структуру ответа. Запись 25π сохраняет точность для дальнейших вычислений; десятичное значение показано рядом, когда нужно число для измерений.