圆形计算器
输入圆的半径、直径、周长或面积中的任一项,即可求出其余三项——以 π 表示精确值,并附有小数结果和每一步计算。再添加圆心角,即可求出弧长、扇形面积、弦长、弓形面积和弓形高,并附有带标注的图形。免费,无需注册;全部计算都在您的浏览器中完成。
可输入整数、小数以及 3/4 之类的分数。周长和面积可以写成 π 的倍数,如 10π,以保持结果精确。
结果
| 测量项 | 精确值 | 小数 |
|---|---|---|
| 半径 (r) | 5 cm | 5 cm |
| 直径 (d) | 10 cm | 10 cm |
| 周长 (C) | 10π cm | 31.42 cm |
| 面积 (A) | 25π cm² | 78.54 cm² |
计算过程
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
弧长、扇形、弦长与弓形
以下计算使用上方求得的半径。
| 测量项 | 精确值 | 小数 |
|---|---|---|
| 弧长 (s) | 5π/3 cm | 5.24 cm |
| 扇形面积 | 25π/6 cm² | 13.09 cm² |
| 弦长 (c) | 5 cm | 5 cm |
| 弓形面积 | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2.26 cm² |
| 弓形高 (矢高) | 5 − 5√3/2 cm | 0.67 cm |
| 扇形周长 | 10 + 5π/3 cm | 15.24 cm |
| 弓形周长 | 5 + 5π/3 cm | 10.24 cm |
圆心角的计算过程
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
图形
如何使用圆形计算器
- 1. 说明已知量。 选择半径、直径、周长或面积,并输入其数值。整数、小数以及 3/4 之类的分数都会被精确读取。
- 2. 用 π 保持精确。 周长或面积可以输入为 π 的倍数,如 10π 或 25π,此时半径会是一个简洁的数。若输入普通数字,周长为 10 时得出的是 r = 5/π。
- 3. 阅读四项测量值。 半径、直径、周长和面积以精确形式给出,并附有按您所选位数取整的小数;下方列出计算过程。
- 4. 添加圆心角。 可以度为单位输入,也可以输入 π 的倍数表示的弧度,如 pi/3。随后给出弧长、扇形、弦长、弓形和矢高,并绘制在带标注的圆上。
圆的公式
| 求解项 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 直径 | d = 2r | 半径的两倍 |
| 周长 | C = 2πr = πd | 绕圆一周的距离 |
| 面积 | A = πr² | 圆内所覆盖的面积 |
| 由周长求半径 | r = C / (2π) | 由 C = 2πr 变形而来 |
| 由面积求半径 | r = √(A / π) | 由 A = πr² 变形而来 |
| 由周长求面积 | A = C² / (4π) | 代入 r = C / (2π) |
数 π 是任一圆的周长与直径之比,约为 3.14159。它是无理数,因此大多数圆的问题,精确答案都写作含 π 的形式——如 25π,而不是 78.5398……——并且只在最后才取近似值。
弧长、扇形、弦长与弓形
圆心角 θ 把圆分割成若干部分。以弧度度量 θ(180° = π 弧度)时,公式最为简洁。
| 部分 | 公式 | 含义 |
|---|---|---|
| 弧长 | s = r × θ | 两条半径之间的弧形边 |
| 扇形面积 | ½ × r² × θ | 从圆心到弧的扇形切片 |
| 弦长 | c = 2r × sin(θ / 2) | 连接弧两端的直线 |
| 弓形面积 | ½ × r² × (θ − sin θ) | 弦与弧之间的区域 |
| 矢高 | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | 弓形的高 |
弓形等于扇形减去由两条半径和弦构成的三角形,该三角形的面积为 ½r² sin θ——θ − sin θ 即由此而来。当 θ 大于 180° 时,公式依然成立:此时的“弓形”是较大的那一块,其矢高会超过半径。
示例
- 由半径求出。 r = 5 得 d = 10,C = 10π ≈ 31.42,A = 25π ≈ 78.54。
- 由周长求出。 C = 10 得 r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1.59,A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7.96。若输入为 10π,同一个圆的 r = 5。
- 半径为 3 的 60° 扇形。 θ = π/3,因此弧长为 π ≈ 3.14,扇形面积为 3π/2 ≈ 4.71,弦长为 2 × 3 × sin 30° = 3——与半径相等,因为这个三角形是等边三角形。
- 它的弓形。 弓形面积 = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0.82,矢高为 3 − 3√3/2 ≈ 0.40。
只有当 sin(θ/2) 和 sin θ 有闭合形式时,弦和弓形才会以精确形式出现,也就是说,对应于 30° 与 15° 的倍数的角度。对于其他角度,例如 50°,弧长和扇形仍是精确值,但弦和弓形以小数给出。
常见错误
- 在需要半径的公式中使用直径:应为 A = πr²,而不是 πd²。
- 在 s = rθ 或 ½r²θ 中直接用度数计算,而这些公式需要弧度;计算器会替您换算。
- 把扇形(一直延伸到圆心的切片)与弓形(由弦切下的弓状部分)混淆。
- 过早把 π 取为 3.14:精确答案 25π 与小数 78.54 相差约 0.04。
常见问题
- 如何由周长求圆的面积?
- 先求半径 r = C / (2π),再用 A = πr²。把两者合并即得 A = C² / (4π)。周长为 10 时,面积为 100 / (4π) = 25/π,约为 7.96。
- 半径与直径有什么区别?
- 半径从圆心延伸到圆周;直径穿过圆心贯穿整个圆,因此 d = 2r。面积公式使用半径,而 C = πd 使用直径。
- 如何求圆弧的弧长?
- 把半径乘以以弧度表示的圆心角:s = rθ。若角度以度给出,则取其占整圆的比例:s = (θ / 360°) × 2πr。半径为 3 的 60° 圆弧长为 π。
- 扇形与弓形有什么区别?
- 扇形是由两条半径和圆弧围成的切片,就像一块披萨。弓形是弦与它所切下的圆弧之间的区域。弓形等于扇形减去由两条半径和弦构成的三角形。
- 如何求弦的长度?
- c = 2r × sin(θ / 2),其中 θ 为圆心角。若已知弦到圆心的距离 d,则由勾股定理得 c = 2√(r² − d²)。圆心角为 180° 的弦就是直径。
- 什么是弓形的矢高?
- 矢高是弓形的高:从弦的中点到弧的中点的距离,h = r × (1 − cos(θ / 2))。它就是拱门或透镜的“隆起”部分。
- 为什么计算器显示 π,而不是小数?
- 因为 π 是无理数,任何小数都只是近似值,而且小数还会掩盖答案的结构。写成 25π 可以保持结果精确,便于后续计算;需要用一个数来度量时,旁边也会显示小数。