Kalkulator koła
Wpisz dowolną jedną z wielkości koła — promień, średnicę, obwód lub pole — a otrzymasz pozostałe trzy: dokładnie w zapisie z π, z wartością dziesiętną i każdym krokiem. Potem dodaj kąt środkowy, aby obliczyć długość łuku, pole wycinka, cięciwę, odcinek kołowy i strzałkę łuku, z oznaczonym rysunkiem. Działa w przeglądarce. Za darmo, bez rejestracji.
Liczby całkowite, dziesiętne i ułamki, np. 3/4. Obwód i pole można podać jako wielokrotność π, np. 10π, aby zachować dokładność wyniku.
Wyniki
| Miara | Dokładnie | Dziesiętnie |
|---|---|---|
| Promień (r) | 5 cm | 5 cm |
| Średnica (d) | 10 cm | 10 cm |
| Obwód (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Pole (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Obliczenia
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Łuk, wycinek, cięciwa i odcinek
Obliczenia poniżej używają promienia wyznaczonego powyżej.
| Miara | Dokładnie | Dziesiętnie |
|---|---|---|
| Długość łuku (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Pole wycinka | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Długość cięciwy (c) | 5 cm | 5 cm |
| Pole odcinka kołowego | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Wysokość odcinka (strzałka łuku) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Obwód wycinka | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Obwód odcinka kołowego | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Obliczenia dla kąta
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Rysunek
Jak korzystać z kalkulatora koła
- 1. Podaj, co wiesz. Wybierz promień, średnicę, obwód lub pole i wpisz wartość. Liczby całkowite, dziesiętne i ułamki, np. 3/4, są odczytywane dokładnie.
- 2. Zachowaj dokładność z π. Obwód lub pole można wpisać jako wielokrotność π, np. 10π lub 25π, a promień wyjdzie jako czysta liczba. Wpisany jako zwykła liczba, obwód 10 daje r = 5/π.
- 3. Odczytaj cztery miary. Promień, średnica, obwód i pole pojawiają się w postaci dokładnej oraz jako wartości dziesiętne zaokrąglone do wybranej liczby miejsc, z obliczeniami pod spodem.
- 4. Dodaj kąt środkowy. Wpisz go w stopniach albo w radianach jako wielokrotność π, np. pi/3. Następnie pojawią się łuk, wycinek, cięciwa, odcinek i strzałka, narysowane na oznaczonym kole.
Wzory na koło
| Szukana wielkość | Wzór | Uwagi |
|---|---|---|
| Średnica | d = 2r | Dwukrotność promienia |
| Obwód | C = 2πr = πd | Odległość wokół koła |
| Pole | A = πr² | Powierzchnia wewnątrz |
| Promień z obwodu | r = C / (2π) | Przekształca C = 2πr |
| Promień z pola | r = √(A / π) | Przekształca A = πr² |
| Pole z obwodu | A = C² / (4π) | Podstawia r = C / (2π) |
Liczba π to stosunek obwodu dowolnego koła do jego średnicy, około 3,14159. Jest niewymierna, więc dokładna odpowiedź na większość zadań o kołach zapisywana jest z π — 25π zamiast 78,5398… — i zaokrąglana dopiero na końcu.
Łuk, wycinek, cięciwa i odcinek
Kąt środkowy θ dzieli koło na części. Mierz θ w radianach (180° = π radianów), aby wzory były najprostsze.
| Element | Wzór | Czym jest |
|---|---|---|
| Długość łuku | s = r × θ | Zakrzywiona krawędź między dwoma promieniami |
| Pole wycinka | ½ × r² × θ | Wycinek od środka do łuku |
| Cięciwa | c = 2r × sin(θ / 2) | Prosta łącząca końce łuku |
| Pole odcinka kołowego | ½ × r² × (θ − sin θ) | Obszar między cięciwą a łukiem |
| Strzałka łuku (sagitta) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | Wysokość odcinka |
Odcinek to wycinek minus trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę, którego pole wynosi ½r² sin θ — stąd θ − sin θ. Dla θ powyżej 180° wzory nadal obowiązują: „odcinek” jest wtedy większą częścią, a jego strzałka przekracza promień.
Przykłady krok po kroku
- Z promienia. r = 5 daje d = 10, C = 10π ≈ 31,42 i A = 25π ≈ 78,54.
- Z obwodu. C = 10 daje r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59 oraz A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Wpisany jako 10π, ten sam okrąg ma r = 5.
- Wycinek 60° o promieniu 3. θ = π/3, więc łuk wynosi π ≈ 3,14, wycinek 3π/2 ≈ 4,71, a cięciwa 2 × 3 × sin 30° = 3 — równa promieniowi, bo trójkąt jest równoboczny.
- Jego odcinek. Pole odcinka = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, a strzałka wynosi 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Dokładne cięciwy i odcinki pojawiają się, gdy sin(θ/2) i sin θ mają postać zamkniętą — czyli dla kątów będących wielokrotnościami odpowiednio 30° i 15°. Dla innych kątów, np. 50°, łuk i wycinek nadal są dokładne, ale cięciwa i odcinek podawane są jako wartości dziesiętne.
Częste błędy
- Użycie średnicy we wzorze, który wymaga promienia: A = πr², a nie πd².
- Liczenie w stopniach w s = rθ lub ½r²θ, które wymagają radianów; kalkulator przelicza to za Ciebie.
- Mylenie wycinka (kawałka sięgającego środka) z odcinkiem (czaszą odciętą cięciwą).
- Zaokrąglanie π do 3,14 na wczesnym etapie: dokładna odpowiedź 25π i wartość dziesiętna 78,54 różnią się o około 0,04.
Najczęstsze pytania
- Jak obliczyć pole koła z jego obwodu?
- Najpierw znajdź promień, r = C / (2π), a potem użyj A = πr². Łącząc oba wzory, otrzymujesz A = C² / (4π). Obwód 10 daje pole 100 / (4π) = 25/π, czyli około 7,96.
- Jaka jest różnica między promieniem a średnicą?
- Promień biegnie od środka do krawędzi; średnica przechodzi przez środek od krawędzi do krawędzi, więc d = 2r. Wzory na pole używają promienia, a C = πd używa średnicy.
- Jak obliczyć długość łuku koła?
- Pomnóż promień przez kąt środkowy w radianach: s = rθ. Jeśli kąt jest w stopniach, weź ułamek pełnego obrotu: s = (θ / 360°) × 2πr. Łuk 60° w kole o promieniu 3 ma długość π.
- Jaka jest różnica między wycinkiem a odcinkiem?
- Wycinek to część ograniczona dwoma promieniami i łukiem, jak kawałek pizzy. Odcinek to obszar między cięciwą a łukiem, który ona odcina. Odcinek jest wycinkiem minus trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę.
- Jak obliczyć długość cięciwy?
- c = 2r × sin(θ / 2), gdzie θ to kąt środkowy. Jeśli zamiast tego znasz odległość d cięciwy od środka, użyj c = 2√(r² − d²) z twierdzenia Pitagorasa. Cięciwa o kącie 180° jest średnicą.
- Czym jest strzałka łuku odcinka kołowego?
- Strzałka (sagitta) to wysokość odcinka: odległość od środka cięciwy do środka łuku, h = r × (1 − cos(θ / 2)). To „wybrzuszenie” łuku lub soczewki.
- Dlaczego kalkulator pokazuje π zamiast wartości dziesiętnej?
- Bo π jest niewymierna, więc każda wartość dziesiętna jest przybliżeniem, a dodatkowo ukrywa strukturę wyniku. Zapis 25π zachowuje dokładność do dalszych obliczeń; wartość dziesiętna jest obok, gdy potrzebujesz liczby do pomiaru.