Calculadora de círculo
Insira um dos valores de um círculo — raio, diâmetro, circunferência ou área — e obtenha os outros três, exatos em função de π, com a forma decimal e cada passo. Depois, adicione um ângulo central para encontrar o comprimento do arco, a área do setor, a corda, o segmento circular e a altura do segmento, com uma figura rotulada. Gratuito, sem cadastro; funciona no seu navegador.
Números inteiros, decimais e frações, como 3/4. A circunferência e a área podem ser escritas como múltiplo de π, como 10π, para manter a resposta exata.
Resultados
| Medida | Exato | Decimal |
|---|---|---|
| Raio (r) | 5 cm | 5 cm |
| Diâmetro (d) | 10 cm | 10 cm |
| Circunferência (C) | 10π cm | 31,42 cm |
| Área (A) | 25π cm² | 78,54 cm² |
Os cálculos
d = 2r = 2 × 5 = 10
C = 2πr = 2 × π × 5 = 10π
A = πr² = π × 5² = 25π
Arco, setor, corda e segmento
Estes usam o raio encontrado acima.
| Medida | Exato | Decimal |
|---|---|---|
| Comprimento do arco (s) | 5π/3 cm | 5,24 cm |
| Área do setor | 25π/6 cm² | 13,09 cm² |
| Comprimento da corda (c) | 5 cm | 5 cm |
| Área do segmento | 25π/6 − 25√3/4 cm² | 2,26 cm² |
| Altura do segmento (sagitta) | 5 − 5√3/2 cm | 0,67 cm |
| Perímetro do setor | 10 + 5π/3 cm | 15,24 cm |
| Perímetro do segmento | 5 + 5π/3 cm | 10,24 cm |
Cálculos para o ângulo
θ = 60° = π/3 rad
s = r × θ = 5 × (π/3) = 5π/3
Sector = ½ × r² × θ = ½ × 5² × (π/3) = 25π/6
Chord = 2 × r × sin(θ / 2) = 2 × 5 × sin(30°) = 2 × 5 × 1/2 = 5
Segment = ½ × r² × (θ − sin θ) = ½ × 5² × (π/3 − √3/2) = 25π/6 − 25√3/4
Sagitta = r × (1 − cos(θ / 2)) = 5 − 5√3/2
Figura
Como usar a calculadora de círculo
- 1. Diga o que você sabe. Escolha raio, diâmetro, circunferência ou área e digite o valor. Números inteiros, decimais e frações como 3/4 são lidos com exatidão.
- 2. Mantenha a exatidão com π. Uma circunferência ou área pode ser digitada como múltiplo de π, como 10π ou 25π, e o raio sai como um número limpo. Digitada como número simples, uma circunferência de 10 dá r = 5/π.
- 3. Leia as quatro medidas. Raio, diâmetro, circunferência e área aparecem em forma exata e em decimais arredondados nas casas que você escolher, com os cálculos logo abaixo.
- 4. Adicione um ângulo central. Digite-o em graus ou em radianos como múltiplo de π, como pi/3. Em seguida aparecem o arco, o setor, a corda, o segmento e a altura do segmento, desenhados em um círculo rotulado.
Fórmulas do círculo
| Encontrar | Fórmula | Observações |
|---|---|---|
| Diâmetro | d = 2r | O dobro do raio |
| Circunferência | C = 2πr = πd | A distância em volta |
| Área | A = πr² | A superfície interna |
| Raio a partir da circunferência | r = C / (2π) | Reorganiza C = 2πr |
| Raio a partir da área | r = √(A / π) | Reorganiza A = πr² |
| Área a partir da circunferência | A = C² / (4π) | Substitui r = C / (2π) |
O número π é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e o seu diâmetro, cerca de 3,14159. Ele é irracional, então a resposta exata da maioria dos problemas de círculo é escrita com π — 25π em vez de 78,5398… — e arredondada só no fim.
Arco, setor, corda e segmento
Um ângulo central θ divide o círculo em partes. Meça θ em radianos (180° = π radianos) para as fórmulas mais limpas.
| Parte | Fórmula | O que é |
|---|---|---|
| Comprimento do arco | s = r × θ | A borda curva entre os dois raios |
| Área do setor | ½ × r² × θ | A fatia do centro até o arco |
| Corda | c = 2r × sen(θ / 2) | A reta que une as extremidades do arco |
| Área do segmento | ½ × r² × (θ − sen θ) | A região entre a corda e o arco |
| Altura do segmento (sagitta) | h = r × (1 − cos(θ / 2)) | A altura do segmento |
O segmento é o setor menos o triângulo formado pelos dois raios e pela corda, cuja área é ½r² sen θ — de onde vem θ − sen θ. Para θ acima de 180°, as fórmulas continuam valendo: o «segmento» passa a ser a peça maior, e sua altura excede o raio.
Exemplos práticos
- A partir do raio. r = 5 dá d = 10, C = 10π ≈ 31,42 e A = 25π ≈ 78,54.
- A partir da circunferência. C = 10 dá r = 10 / (2π) = 5/π ≈ 1,59, e A = C² / (4π) = 25/π ≈ 7,96. Digitado como 10π, o mesmo círculo tem r = 5.
- Um setor de 60° com raio 3. θ = π/3, então o arco é π ≈ 3,14, o setor é 3π/2 ≈ 4,71 e a corda é 2 × 3 × sen 30° = 3 — igual ao raio, porque o triângulo é equilátero.
- O segmento correspondente. Área do segmento = ½ × 9 × (π/3 − √3/2) = 3π/2 − 9√3/4 ≈ 0,82, e a altura é 3 − 3√3/2 ≈ 0,40.
Cordas e segmentos exatos aparecem quando sen(θ/2) e sen θ têm forma fechada — ou seja, para ângulos múltiplos de 30° e de 15°, respectivamente. Para outros ângulos, como 50°, o arco e o setor continuam exatos, mas a corda e o segmento são dados em decimais.
Erros comuns
- Usar o diâmetro em uma fórmula que pede o raio: A = πr², não πd².
- Calcular com graus em s = rθ ou ½r²θ, que pedem radianos; a calculadora faz a conversão para você.
- Confundir o setor (uma fatia que chega ao centro) com o segmento (a calota cortada por uma corda).
- Arredondar π para 3,14 logo no início: a resposta exata 25π e o decimal 78,54 diferem em cerca de 0,04.
Perguntas frequentes
- Como encontrar a área de um círculo a partir da circunferência?
- Primeiro encontre o raio, r = C / (2π), e então use A = πr². Juntando as duas, A = C² / (4π). Uma circunferência de 10 dá uma área de 100 / (4π) = 25/π, cerca de 7,96.
- Qual é a diferença entre raio e diâmetro?
- O raio vai do centro até a borda; o diâmetro atravessa o círculo inteiro passando pelo centro, então d = 2r. As fórmulas de área usam o raio, enquanto C = πd usa o diâmetro.
- Como encontrar o comprimento do arco de um círculo?
- Multiplique o raio pelo ângulo central em radianos: s = rθ. Se o ângulo estiver em graus, tome a fração de uma volta completa: s = (θ / 360°) × 2πr. Um arco de 60° em um círculo de raio 3 tem comprimento π.
- Qual é a diferença entre setor e segmento?
- Um setor é a fatia delimitada por dois raios e pelo arco, como uma fatia de pizza. Um segmento é a região entre uma corda e o arco que ela corta. O segmento é o setor menos o triângulo formado pelos dois raios e pela corda.
- Como encontrar o comprimento de uma corda?
- c = 2r × sen(θ / 2), em que θ é o ângulo central. Se você conhece a distância d da corda ao centro, use c = 2√(r² − d²), pelo teorema de Pitágoras. Uma corda de 180° é um diâmetro.
- O que é a altura de um segmento circular (sagitta)?
- A sagitta é a altura do segmento: a distância do ponto médio da corda ao ponto médio do arco, h = r × (1 − cos(θ / 2)). É o «bojo» de um arco ou de uma lente.
- Por que a calculadora mostra π em vez de um decimal?
- Porque π é irracional, qualquer decimal é uma aproximação, e o decimal também esconde a estrutura da resposta. Escrever 25π mantém o resultado exato para cálculos posteriores; o decimal aparece ao lado para quando você precisar de um número para medir.