Как найти среднюю скорость изменения?

Вычтите значения функции на концах промежутка и разделите на разность входных значений: (f(b) − f(a))/(b − a). Для таблицы возьмите значения y для двух значений x и сделайте то же самое.

Что означает отрицательная средняя скорость изменения?

Что выход в целом уменьшился на промежутке: секущая идёт вниз. О том, что происходило между концами, это ничего не говорит: функция могла сначала вырасти, а потом упасть ещё ниже.

Чем она отличается от углового коэффициента прямой?

Для прямой линии средняя скорость изменения одинакова на любом промежутке и равна угловому коэффициенту. Для кривой она зависит от выбранного промежутка, поэтому и нужно понятие мгновенной скорости — производной.

Как указать единицы измерения?

Единицы скорости — это единицы y, делённые на единицы x. Если y — расстояние в метрах, а x — время в секундах, скорость измеряется в метрах в секунду. Введите две единицы в калькулятор, и он запишет ответ предложением.

Что такое теорема о среднем значении в этом контексте?

Если f непрерывна на [a, b] и дифференцируема внутри, то в некоторой точке c из (a, b) мгновенная скорость f′(c) равна средней скорости на [a, b]: касательная в c параллельна секущей. Калькулятор находит такие точки численно и рисует одну касательную.

Можно ли использовать его для данных с неравномерным шагом?

Да. Скорость между любыми двумя выбранными значениями x точна для ваших данных, а таблица скоростей между соседними точками работает и с неравными промежутками, потому что каждая строка делит на собственное Δx.

Калькулятор средней скорости изменения

Введите функцию или таблицу данных и два значения x — и получите среднюю скорость изменения между ними, то есть угловой коэффициент секущей: Δy и Δx, уравнение секущей, предложение на обычном языке с вашими единицами (метры в секунду, доллары в год), таблицу, которая показывает, как скорость приближается к мгновенной по мере сокращения промежутка, и точку теоремы о среднем значении. Бесплатно, без регистрации.

Ваши данные — это

Функция f(x)

Используйте + − * / ^ и скобки. Функции: sin, cos, tan, exp, ln, log (по основанию 10), sqrt, abs и другие. Константы: pi и e.

Начало x = a

Конец x = b

Число или константа, например 1, −2,5 или pi/2.

Единица измерения y (необязательно)

Единица измерения x (необязательно)

Результаты

Средняя скорость изменения

Изменение y, Δy

Изменение x, Δx

y в начале

y в конце

Что это значит

От x = 1 до x = 3 y увеличивается на 8, пока x меняется на 2: в среднем 4 на единицу x.

Секущая

y = 4 x - 3

Средняя скорость изменения — это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

Сжимаем промежуток

h	Промежуток	Средняя скорость
1	[1, 2]	3
0,1	[1, 1,1]	2,1
0,01	[1, 1,01]	2,01
0,001	[1, 1,001]	2,001
0,0001	[1, 1,0001]	2,0001

Средняя скорость на отрезке [a, a + h] стремится к мгновенной скорости f′(1) = 2 при h → 0.

Теорема о среднем значении

Между a и b найдётся точка c, в которой мгновенная скорость f′(c) равна этой средней скорости: c ≈ 2.

График

y = f(x)
Секущая (наклон 4)
Касательная, параллельная секущей, в точке c

Как пользоваться калькулятором средней скорости изменения

1. Выберите функцию или таблицу. Для функции введите f(x), например x^2 или sin(x). Для данных вставьте по одной паре «x, y» в строке; значения x могут идти в любом порядке. Если в числах десятичные запятые, разделяйте значения точкой с запятой: «1; 4,9».
2. Задайте промежуток. Укажите начало a и конец b. Для таблицы оба значения должны быть значениями x, которые есть в ваших данных.
3. При желании добавьте единицы измерения. Введите единицу y (метры) и единицу x (секунда), чтобы получить ответ в виде предложения с «метры в секунду».
4. Прочитайте результат. Вы получите скорость, Δy и Δx, секущую и график. Для функции также видна таблица предела и точка теоремы о среднем значении.

Формула

Средняя скорость изменения функции f на отрезке [a, b] равна (f(b) − f(a)) / (b − a) — изменение выхода, делённое на изменение входа, или отношение подъёма к пробегу. Геометрически это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)). Она отрицательна, когда f в целом убывает, равна нулю, когда f возвращается к начальному значению, и может быть вычислена на любом промежутке, даже на таком, где f внутри растёт и убывает.

Рабочие примеры

Функция. Для f(x) = x² на [1, 3]: f(1) = 1 и f(3) = 9, значит скорость равна (9 − 1)/(3 − 1) = 4, а секущая — y = 4x − 3. Мгновенная скорость при x = 1 равна f′(1) = 2, а средние скорости на [1, 1 + h] равны 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) и 2,01 (h = 0,01): они приближаются к 2 по мере уменьшения h. Теорема о среднем значении гарантирует точку c в (1, 3), где f′(c) = 4; здесь f′(x) = 2x, значит c = 2.

Таблица. Мяч, отпущенный без начальной скорости, пролетел 0, 4,9, 19,6, 44,1 и 78,4 метра за 0, 1, 2, 3 и 4 секунды. Между t = 1 и t = 3 расстояние растёт с 4,9 до 44,1, значит средняя скорость равна (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 метра в секунду. Скорости между соседними секундами равны 4,9, 14,7, 24,5 и 34,3 м/с и неуклонно растут, потому что мяч ускоряется.

Средняя и мгновенная скорость

Средняя скорость описывает весь промежуток; мгновенная скорость — это производная, предел средней скорости при стягивании промежутка в точку. Там, где средние скорости стремятся к одному числу, это число равно f′(a). Если у вас есть только таблица данных, взять этот предел нельзя, но чем меньше промежутки между измерениями, тем лучше средняя скорость оценивает мгновенную. Не путайте среднюю скорость изменения со средним значением функции, (1/(b − a))∫ f(x)dx, которое является средней высотой графика, а не его средним наклоном.

Часто задаваемые вопросы

Как найти среднюю скорость изменения?: Вычтите значения функции на концах промежутка и разделите на разность входных значений: (f(b) − f(a))/(b − a). Для таблицы возьмите значения y для двух значений x и сделайте то же самое.
Что означает отрицательная средняя скорость изменения?: Что выход в целом уменьшился на промежутке: секущая идёт вниз. О том, что происходило между концами, это ничего не говорит: функция могла сначала вырасти, а потом упасть ещё ниже.
Чем она отличается от углового коэффициента прямой?: Для прямой линии средняя скорость изменения одинакова на любом промежутке и равна угловому коэффициенту. Для кривой она зависит от выбранного промежутка, поэтому и нужно понятие мгновенной скорости — производной.
Как указать единицы измерения?: Единицы скорости — это единицы y, делённые на единицы x. Если y — расстояние в метрах, а x — время в секундах, скорость измеряется в метрах в секунду. Введите две единицы в калькулятор, и он запишет ответ предложением.
Что такое теорема о среднем значении в этом контексте?: Если f непрерывна на [a, b] и дифференцируема внутри, то в некоторой точке c из (a, b) мгновенная скорость f′(c) равна средней скорости на [a, b]: касательная в c параллельна секущей. Калькулятор находит такие точки численно и рисует одну касательную.
Можно ли использовать его для данных с неравномерным шагом?: Да. Скорость между любыми двумя выбранными значениями x точна для ваших данных, а таблица скоростей между соседними точками работает и с неравными промежутками, потому что каждая строка делит на собственное Δx.