Calculateur de taux de variation moyen
Saisissez une fonction ou un tableau de données, puis deux valeurs de x : obtenez le taux de variation moyen entre elles — la pente de la sécante — avec Δy et Δx, l'équation de la sécante, une phrase en langage courant avec vos unités (mètres par seconde, dollars par an), un tableau montrant comment le taux se rapproche du taux instantané quand l'intervalle rétrécit, et le point du théorème des accroissements finis. Gratuit, sans inscription.
Utilisez + − * / ^ et des parenthèses. Fonctions : sin, cos, tan, exp, ln, log (base 10), sqrt, abs et d'autres. Constantes : pi et e.
Un nombre ou une constante, par exemple 1, −2,5 ou pi/2.
Résultats
4
Taux de variation moyen
8
Variation de y, Δy
2
Variation de x, Δx
1
y au début
9
y à la fin
Ce que cela signifie
De x = 1 à x = 3, y augmente de 8 lorsque x varie de 2 : en moyenne 4 par unité de x.
Sécante
Le taux de variation moyen est la pente de la sécante passant par (a, f(a)) et (b, f(b)).
Réduire l'intervalle
| h | Intervalle | Taux moyen |
|---|---|---|
| 1 | [1, 2] | 3 |
| 0,1 | [1, 1,1] | 2,1 |
| 0,01 | [1, 1,01] | 2,01 |
| 0,001 | [1, 1,001] | 2,001 |
| 0,0001 | [1, 1,0001] | 2,0001 |
Le taux moyen sur [a, a + h] tend vers le taux instantané f′(1) = 2 quand h → 0.
Théorème des accroissements finis
Il existe un point c entre a et b où le taux instantané f′(c) est égal à ce taux moyen : c ≈ 2.
Graphique
- y = f(x)
- Sécante (pente 4)
- Tangente parallèle à la sécante en c
Comment utiliser le calculateur de taux de variation moyen
- 1. Choisissez fonction ou tableau. Pour une fonction, saisissez f(x), comme
x^2ousin(x). Pour des données, collez une paire « x ; y » par ligne ; les valeurs de x peuvent être dans n'importe quel ordre. - 2. Saisissez l'intervalle. Indiquez le début a et la fin b. Pour un tableau, les deux doivent être des valeurs de x qui figurent dans vos données.
- 3. Ajoutez des unités si vous le souhaitez. Saisissez l'unité de y (mètres) et celle de x (seconde) pour obtenir la réponse sous forme de phrase, avec « mètres par seconde ».
- 4. Lisez le résultat. Vous obtenez le taux, Δy et Δx, la sécante et un graphique. Pour une fonction, vous voyez aussi le tableau des limites et le point du théorème des accroissements finis.
La formule
Le taux de variation moyen de f sur [a, b] est (f(b) − f(a)) / (b − a) : la variation de la sortie divisée par la variation de l'entrée, soit « montée sur course ». Géométriquement, c'est la pente de la sécante passant par les points (a, f(a)) et (b, f(b)). Il est négatif lorsque f diminue globalement, nul lorsque f finit là où elle a commencé, et il peut se calculer sur n'importe quel intervalle, même si f monte et descend entre les deux.
Exemples détaillés
Une fonction. Pour f(x) = x² sur [1, 3] : f(1) = 1 et f(3) = 9, donc le taux vaut (9 − 1)/(3 − 1) = 4, et la sécante a pour équation y = 4x − 3. Le taux instantané en x = 1 est f′(1) = 2, et les taux moyens sur [1, 1 + h] valent 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) et 2,01 (h = 0,01) : ils se rapprochent de 2 quand h diminue. Le théorème des accroissements finis garantit un point c dans (1, 3) avec f′(c) = 4 ; ici f′(x) = 2x, donc c = 2.
Un tableau. Une balle lâchée sans vitesse initiale a parcouru 0 ; 4,9 ; 19,6 ; 44,1 et 78,4 mètres après 0, 1, 2, 3 et 4 secondes. Entre t = 1 et t = 3, la distance passe de 4,9 à 44,1, donc la vitesse moyenne vaut (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 mètres par seconde. Les taux entre secondes consécutives sont 4,9 ; 14,7 ; 24,5 et 34,3 m/s, en hausse régulière parce que la balle accélère.
Taux moyen et taux instantané
Le taux moyen décrit un intervalle entier ; le taux instantané est la dérivée, c'est-à-dire la limite du taux moyen quand l'intervalle se réduit à un point. Là où les taux moyens se stabilisent vers un même nombre, ce nombre est f′(a). Si vous ne disposez que d'un tableau de données, vous ne pouvez pas calculer cette limite, mais plus les mesures sont rapprochées, mieux le taux moyen estime le taux instantané. Ne confondez pas le taux de variation moyen avec la valeur moyenne d'une fonction, (1/(b − a))∫ f(x)dx, qui est la hauteur moyenne du graphe et non sa pente moyenne.
Questions fréquentes
- Comment trouve-t-on le taux de variation moyen ?
- Retranchez les valeurs de la fonction aux deux extrémités et divisez par la différence des entrées : (f(b) − f(a))/(b − a). Pour un tableau, lisez les valeurs de y aux deux valeurs de x et faites de même.
- Que signifie un taux de variation moyen négatif ?
- Que la sortie a diminué globalement sur l'intervalle : la sécante descend. Cela ne dit rien de ce qui s'est passé entre-temps, puisque la fonction a pu monter d'abord, puis baisser davantage.
- En quoi est-ce différent de la pente d'une droite ?
- Pour une droite, le taux de variation moyen est le même sur tout intervalle et égal à la pente. Pour une courbe, il dépend de l'intervalle choisi, ce qui rend nécessaire la notion de taux instantané (la dérivée).
- Comment inclure les unités ?
- Les unités du taux sont celles de y divisées par celles de x. Si y est une distance en mètres et x un temps en secondes, le taux est en mètres par seconde. Saisissez les deux unités dans le calculateur pour obtenir la phrase rédigée à votre place.
- Que signifie le théorème des accroissements finis dans ce contexte ?
- Si f est continue sur [a, b] et dérivable entre les deux, il existe en un point c de (a, b) où le taux instantané f′(c) est égal au taux moyen sur [a, b] : la tangente en c est parallèle à la sécante. Le calculateur trouve numériquement de tels points et trace une tangente.
- Peut-on l'utiliser pour des données espacées irrégulièrement ?
- Oui. Le taux entre deux valeurs de x choisies est exact pour vos données, et le tableau des taux entre valeurs consécutives gère les écarts inégaux, puisque chaque ligne divise par son propre Δx.