Calculateur de factorielle

Résultats

Le calcul

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, donc chaque factorielle est la précédente multipliée par 20.
• Chaque zéro final provient d'un facteur 10 = 2 × 5, et les 5 sont plus rares que les 2. Comptons-les : ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• La double factorielle multiplie les nombres de deux en deux : 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3 715 891 200.
• La formule de Stirling √(2πn) (n/e)ⁿ donne environ 2.4227868 × 10^18, soit 0,416% en dessous de la valeur exacte.

Comment utiliser le calculateur de factorielle

1. 1. Saisissez n. Tout nombre entier de 0 à 10 000. Le résultat se met à jour pendant la saisie.
2. 2. Lisez la valeur exacte. Les petites factorielles s'affichent avec séparation des milliers. Pour les plus grandes, un titre en notation scientifique apparaît, avec tous les chiffres dans une zone défilante munie d'un bouton de copie.
3. 3. Vérifiez le reste. Vous obtenez aussi le nombre de chiffres, les zéros finaux, la double factorielle n!! et l'approximation de Stirling, avec l'écart par rapport à n!.
4. 4. Essayez un décimal. Pour une valeur comme 4,5, le calculateur renvoie Γ(5,5) = 4,5!, car la fonction gamma étend la factorielle à tous les nombres sauf les entiers négatifs.

Ce qu'est une factorielle

La factorielle d'un entier naturel n, notée n!, est le produit de tous les entiers de 1 à n : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Elle compte le nombre de façons d'ordonner n objets distincts en une rangée — trois livres peuvent être rangés dans 3! = 6 ordres différents — et elle est la brique de base des permutations, des combinaisons et du binôme de Newton. Chaque factorielle est la précédente multipliée par n : n! = n × (n − 1)!.

Pourquoi 0! vaut-il 1 ? En suivant la règle n! = n × (n − 1)! jusqu'à n = 1, on obtient 1! = 1 × 0!, ce qui n'est vrai que si 0! = 1. Cela correspond aussi au sens de comptage (il n'existe qu'une seule façon d'ordonner rien) et au fait qu'un produit vide vaut 1 par convention.

Zéros finaux : formule de Legendre

Un zéro en fin de n! provient d'un facteur 10 = 2 × 5. Il y a toujours plus de facteurs 2 que de facteurs 5, donc le nombre de zéros finaux est égal au nombre de 5 dans le produit 1 × 2 × … × n. On compte les multiples de 5, on ajoute les multiples de 25 (chacun cache un second 5), puis ceux de 125, et ainsi de suite : zéros = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Pour 100!, cela donne 20 + 4 = 24 zéros finaux. 100! comporte 158 chiffres au total.

Approximation de Stirling

Pour les grands n, n! est approché par √(2πn) (n/e)ⁿ. L'approximation est toujours légèrement inférieure à la valeur exacte, d'environ 1/(12n) en valeur relative : 0,83 % pour n = 10 (3,5986956 × 10⁶ contre 3 628 800) et 0,083 % pour n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ contre 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Multiplier par (1 + 1/(12n)) supprime l'essentiel de l'erreur. Cette approximation permet d'estimer la taille de très grandes factorielles à partir de simples logarithmes.

Double factorielle et fonction gamma

La double factorielle n!! multiplie les nombres de deux en deux à partir de n : 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, et 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Ce n'est pas (n!)!. Par convention, 0!! = 1, et n!! × (n − 1)!! = n!. La fonction gamma Γ(x) généralise la factorielle : Γ(n + 1) = n! pour les entiers n, et elle est définie pour les décimaux, par exemple (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Elle n'a pas de valeur en zéro ni aux entiers négatifs, si bien que (−1)! et (−2)! n'existent pas.

Questions fréquentes

Pourquoi 0! vaut-il 1 ?

Parce que la règle n! = n × (n − 1)! doit être vraie pour n = 1, ce qui donne 1 = 1 × 0!. Cela correspond aussi au sens de comptage : il n'existe qu'une seule façon d'ordonner zéro objet, et le produit vide de nombres vaut 1.

Par combien de zéros se termine 100! ?

Par 24. On compte les facteurs 5 : ⌊100/5⌋ = 20 multiples de 5 plus ⌊100/25⌋ = 4 multiples de 25 font 24, et il y a assez de 2 pour les associer.

Peut-on calculer la factorielle d'un nombre négatif ou d'un décimal ?

Pas celle d'un entier négatif, pour lequel la fonction gamma a des pôles. Les décimaux et les négatifs non entiers passent par Γ(n + 1) : 4,5! ≈ 52,34 et (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Qu'est-ce qu'une double factorielle ?

n!! est le produit des nombres de n jusqu'à 1 ou 2, par pas de deux : 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 et 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3 840. Ce n'est pas (n!)!, qui serait un nombre énorme.

De combien de façons peut-on ordonner 52 cartes à jouer ?

52! ≈ 8,0658175… × 10⁶⁷, un nombre de 68 chiffres. Un jeu de cartes bien mélangé est, en pratique, un ordre que personne n'a jamais tenu auparavant.

Quelle est la précision de l'approximation de Stirling ?

Son erreur relative vaut environ 1/(12n) : elle est inférieure de 0,83 % pour n = 10 et de 0,083 % pour n = 100. Le calculateur affiche l'erreur exacte pour votre n, ainsi que l'erreur après l'ajout de la correction 1/(12n).