Kalkulator Faktorial

Hasil

Langkah perhitungan

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, sehingga setiap faktorial adalah faktorial sebelumnya dikali 20.
• Setiap angka nol di akhir berasal dari faktor 10 = 2 × 5, dan angka 5 lebih jarang daripada angka 2. Menghitungnya: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• Faktorial ganda mengalikan setiap bilangan kedua: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
• Rumus Stirling √(2πn) (n/e)ⁿ menghasilkan sekitar 2.4227868 × 10^18, yaitu 0,416% di bawah nilai eksaknya.

Cara Menggunakan Kalkulator Faktorial

1. 1. Masukkan n. Bilangan bulat apa pun dari 0 hingga 10.000. Hasilnya diperbarui saat Anda mengetik.
2. 2. Baca nilai eksaknya. Faktorial kecil ditampilkan dengan pengelompokan digit. Yang lebih besar menampilkan judul dalam notasi ilmiah dan setiap digit dalam kotak yang dapat digulir, dengan tombol salin.
3. 3. Periksa hal lainnya. Anda juga mendapatkan jumlah digit, angka nol di akhir, faktorial ganda n!!, dan aproksimasi Stirling beserta seberapa jauh di bawah n! nilainya.
4. 4. Coba desimal. Untuk nilai seperti 4,5 kalkulator mengembalikan Γ(5,5) = 4,5!, karena fungsi gamma memperluas faktorial ke setiap bilangan kecuali bilangan bulat negatif.

Apa Itu Faktorial

Faktorial dari bilangan bulat nonnegatif n, ditulis n!, adalah hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Ia menghitung banyaknya cara menyusun n benda yang berbeda dalam satu baris — tiga buku dapat disusun dalam 3! = 6 urutan — dan merupakan dasar permutasi, kombinasi, dan teorema binomial. Setiap faktorial adalah faktorial sebelumnya dikali n: n! = n × (n − 1)!.

Mengapa 0! sama dengan 1? Mengikuti aturan n! = n × (n − 1)! hingga n = 1 memberi 1! = 1 × 0!, yang hanya berlaku jika 0! = 1. Ini juga sesuai dengan makna penghitungannya (hanya ada satu cara menyusun nol benda) dan fakta bahwa hasil kali kosong bernilai 1 menurut konvensi.

Angka Nol di Akhir: Rumus Legendre

Angka nol di akhir n! berasal dari faktor 10 = 2 × 5. Selalu ada lebih banyak faktor 2 daripada faktor 5, sehingga jumlah angka nol di akhir sama dengan jumlah angka 5 dalam 1 × 2 × … × n. Hitung kelipatan 5, tambahkan kelipatan 25 (masing-masing menyembunyikan angka 5 kedua), lalu kelipatan 125, dan seterusnya: jumlah nol = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Untuk 100!, itu 20 + 4 = 24 angka nol di akhir. 100! memiliki 158 digit seluruhnya.

Aproksimasi Stirling

Untuk n yang besar, n! didekati dengan √(2πn) (n/e)ⁿ. Hasilnya selalu sedikit lebih rendah daripada nilai sebenarnya, dengan galat relatif sekitar 1/(12n): 0,83% pada n = 10 (3,5986956 × 10⁶ dibandingkan 3.628.800) dan 0,083% pada n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ dibandingkan 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Mengalikan dengan (1 + 1/(12n)) menghilangkan sebagian besar galat. Aproksimasi ini memungkinkan Anda memperkirakan ukuran faktorial yang sangat besar hanya dari logaritma.

Faktorial Ganda dan Fungsi Gamma

Faktorial ganda n!! mengalikan setiap bilangan kedua dari n ke bawah: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, dan 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Ini bukan (n!)!. Menurut konvensi 0!! = 1, dan n!! × (n − 1)!! = n!. Fungsi gamma Γ(x) menggeneralisasi faktorial: Γ(n + 1) = n! untuk n bulat, dan ia juga terdefinisi untuk desimal, seperti (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Fungsi ini tidak memiliki nilai di nol atau di bilangan bulat negatif, sehingga (−1)! dan (−2)! tidak ada.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Mengapa 0! sama dengan 1?

Karena aturan faktorial n! = n × (n − 1)! harus berlaku pada n = 1, yang memberi 1 = 1 × 0!. Ini juga sesuai dengan makna penghitungannya: hanya ada satu cara menyusun nol benda, dan hasil kali dari tidak ada bilangan adalah 1.

Berapa banyak angka nol di akhir 100!?

24. Hitung faktor 5: ⌊100/5⌋ = 20 kelipatan 5 ditambah ⌊100/25⌋ = 4 kelipatan 25 menghasilkan 24, dan ada banyak angka 2 untuk dipasangkan dengannya.

Bisakah saya menghitung faktorial dari bilangan negatif atau desimal?

Tidak untuk bilangan bulat negatif, karena fungsi gamma memiliki kutub di sana. Desimal dan bilangan negatif non-bulat bekerja melalui Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 dan (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Apa itu faktorial ganda?

n!! adalah hasil kali bilangan dari n turun ke 1 atau 2 dengan langkah dua, sehingga 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 dan 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. Ini berbeda dari (n!)!, yang akan menjadi bilangan yang sangat besar.

Berapa banyak cara 52 kartu remi dapat disusun?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, sebuah bilangan 68 digit. Untuk keperluan praktis, setiap dek yang dikocok dengan baik adalah sebuah susunan yang belum pernah dimiliki siapa pun.

Seberapa akurat aproksimasi Stirling?

Galat relatifnya sekitar 1/(12n), sehingga hasilnya 0,83% lebih rendah untuk n = 10 dan 0,083% lebih rendah untuk n = 100. Kalkulator menampilkan galat eksak untuk n Anda, dan galat setelah menambahkan koreksi 1/(12n).