Faktöriyel Hesaplayıcı

Sonuçlar

Hesap adımları

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, yani her faktöriyel, bir öncekinin 20 ile çarpımıdır.
• Sondaki her sıfır, 10 = 2 × 5 çarpanından gelir ve 5'ler 2'lerden daha seyrektir. Sayarsak: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• Çift faktöriyel her ikinci sayıyı çarpar: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
• Stirling formülü √(2πn) (n/e)ⁿ, yaklaşık 2.4227868 × 10^18 verir; bu, kesin değerin 0,416% altındadır.

Faktöriyel Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır

1. 1. n değerini girin. 0 ile 10.000 arasında herhangi bir tam sayı. Sonuç yazdıkça güncellenir.
2. 2. Tam değeri okuyun. Küçük faktöriyeller basamak gruplarıyla görünür. Daha büyük değerlerde, bilimsel gösterimle yazılmış bir özet ve her basamağın yer aldığı, kopyalama düğmeli kaydırılabilir bir kutu gösterilir.
3. 3. Ek bilgilere bakın. Basamak sayısını, sondaki sıfırları, çift faktöriyel n!!'yi ve Stirling yaklaşımının n!'in ne kadar altında kaldığını da görürsünüz.
4. 4. Ondalık bir değer deneyin. 4,5 gibi bir değer için hesaplayıcı Γ(5,5) = 4,5! sonucunu verir; çünkü gama fonksiyonu faktöriyeli, negatif tam sayılar dışındaki her sayıya genişletir.

Faktöriyel nedir?

Negatif olmayan bir n tam sayısının faktöriyeli, n! ile yazılır ve 1'den n'ye kadar olan tüm tam sayıların çarpımıdır: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. n farklı nesnenin bir sırada kaç farklı biçimde dizilebileceğini sayar — üç kitap 3! = 6 farklı sırayla dizilebilir — ve permütasyonların, kombinasyonların ve binom teoreminin yapı taşıdır. Her faktöriyel, bir öncekinin n ile çarpımıdır: n! = n × (n − 1)!.

0! neden 1'e eşittir? n! = n × (n − 1)! kuralını n = 1'e kadar uygularsak 1! = 1 × 0! elde edilir; bu eşitliğin doğru olması için 0! = 1 olmalıdır. Değer sayma anlamıyla da uyuşur (hiçbir şeyi dizmenin tam bir yolu vardır) ve kabul gereği boş bir çarpım 1'dir.

Sondaki sıfırlar: Legendre formülü

n! sonundaki bir sıfır, 10 = 2 × 5 çarpanından gelir. 2 çarpanları her zaman 5'lerden daha fazla olduğundan, sondaki sıfır sayısı 1 × 2 × … × n çarpımındaki 5'lerin sayısına eşittir. 5'in katlarını sayın, ardından her biri ikinci bir 5 içeren 25'in katlarını ekleyin, sonra 125'in katlarını ve böyle devam edin: sıfır sayısı = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. 100! için bu 20 + 4 = 24 sondaki sıfır eder. 100!'ün toplam basamak sayısı ise 158'dir.

Stirling yaklaşımı

Büyük n için n!, √(2πn) (n/e)ⁿ ile yaklaşık olarak bulunur. Bu yaklaşım, yaklaşık 1/(12n) bağıl oranında her zaman gerçek değerin biraz altında kalır: n = 10 için %0,83 (3,5986956 × 10⁶ ile gerçek değer 3.628.800 karşılaştırıldığında) ve n = 100 için %0,083 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ ile gerçek değer 9,3326215 × 10¹⁵⁷ karşılaştırıldığında). (1 + 1/(12n)) ile çarpmak hatanın büyük kısmını giderir. Yaklaşım, çok büyük faktöriyellerin boyutunu yalnızca logaritmalardan tahmin etmenizi sağlar.

Çift faktöriyel ve gama fonksiyonu

Çift faktöriyel n!!, n'den başlayarak her ikinci sayıyı çarpar: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 ve 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Bu, (n!)! ile aynı şey değildir. Kabul gereği 0!! = 1 ve n!! × (n − 1)!! = n!'dir. Gama fonksiyonu Γ(x), faktöriyeli genelleştirir: tam sayı n için Γ(n + 1) = n! olur; (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862 gibi ondalık sayılar için de tanımlıdır. Sıfırda ve negatif tam sayılarda değeri yoktur; bu yüzden (−1)! ve (−2)! mevcut değildir.

Sık sorulan sorular

0! neden 1'e eşittir?

Çünkü n! = n × (n − 1)! kuralı n = 1 için de geçerli olmalıdır; bu da 1 = 1 × 0! eşitliğini verir. Sayma anlamıyla da uyuşur: sıfır nesneyi dizmenin tam bir yolu vardır ve hiçbir sayının boş çarpımı 1'dir.

100! kaç sıfırla biter?

24. 5'lerin sayısını sayın: ⌊100/5⌋ = 20 tane 5'in katı ile ⌊100/25⌋ = 4 tane 25'in katı toplam 24 eder ve bunlarla eşleşecek yeterince 2 vardır.

Negatif bir sayının ya da ondalık bir sayının faktöriyelini alabilir miyim?

Negatif bir tam sayının faktöriyelini alamazsınız; gama fonksiyonunun orada kutupları vardır. Ondalık sayılar ve negatif tam olmayan sayılar Γ(n + 1) üzerinden hesaplanır: 4,5! ≈ 52,34 ve (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Çift faktöriyel nedir?

n!!, n'den 1 ya da 2'ye kadar ikişer ikişer azalarak yapılan çarpımdır: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 ve 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. Çok büyük bir sayı olan (n!)!'den farklıdır.

52 oyun kartı kaç farklı biçimde dizilebilir?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, yani 68 basamaklı bir sayı. İyice karıştırılmış her deste, pratik açıdan, daha önce hiç kimsenin görmediği bir dizilimdir.

Stirling yaklaşımı ne kadar doğrudur?

Bağıl hatası yaklaşık 1/(12n) kadardır; bu yüzden n = 10 için %0,83, n = 100 için %0,083 kadar düşük çıkar. Hesaplayıcı, girdiğiniz n için tam hatayı ve 1/(12n) düzeltmesi eklendikten sonraki hatayı gösterir.