Üs Hesaplayıcı
Bir taban ve bir üs girin, tam kuvveti alın: tam sayı sonuçlar son basamağına kadar, negatif üsler için kesirler, kökler varsa tam olarak, yoksa ondalık olarak. Çalışma adım adım yazılır ve bir tablo üs kurallarını kendi sayılarınız üzerinde denetler. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Tam sayı, ondalık sayı ya da kesir: 2, −1,5 ya da 3/4.
Tam, negatif, ondalık ya da kesir: 10, −3, 0,5 ya da 2/3.
Yalnızca aşağıdaki yasalar tablosunda kullanılır; tam sayılar.
Sonuçlar
1024
Sonuç
4
Sonuçtaki basamak sayısı
Çalışma
- Üs 10 sayısını ikili sistemde yazın: 1010. Yani 10 = 2 + 8.
- Tekrarlı kare alın: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Üsse karşılık gelen ikili rakamlara uyan kuvvetleri çarpın: 2² × 2⁸ = 1024.
Girdiğiniz sayılarda üs yasaları
Taban ve iki tam sayı üssünüzle, her yasanın iki tarafı aynı çıkar.
| Yasa | Kural | Sizin sayılarınızla |
|---|---|---|
| Çarpım kuralı | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| Bölüm kuralı | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| Kuvvetin kuvveti | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| Negatif üs | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| Sıfır üssü | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
Üs Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Tabanı girin. Tam sayı, ondalık sayı ya da kesir: 2, −1,5 ya da 3/4. Negatif bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek için eksi işaretini tabana yazın: −2 girmek (−2)ⁿ hesaplar.
- 2. Üssü girin. Tam sayılar (10), negatif sayılar (−3), ondalık sayılar (0,5) ve kesirler (2/3) kullanılabilir. Ondalık sayılar tam kesir olarak okunur: 0,5, 1/2'dir.
- 3. Sonucu okuyun. Tam sayı kuvvetleri tam olarak gösterilir; büyük değerler için basamak sayısı ve bilimsel gösterim de verilir. Negatif üsler bir kesir ve bir ondalık sayı verir; kökler varsa tam bir yanıt, yoksa seçtiğiniz basamak sayısına kadar bir ondalık sayı verir.
- 4. Çalışmayı ve kuralları izleyin. Aşağıdaki adımlar kuvvetin nasıl oluşturulduğunu gösterir; kurallar tablosu çarpım, bölüm ve kuvvet kurallarını tabanınız üzerinde denetler.
Üs Ne Anlama Gelir
n ≥ 1 olan bir tam sayı için bⁿ, b'nin kendisiyle n kez çarpılmasıdır: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Diğer her üs türü, aynı kuralların geçerli kalması için tanımlanmıştır. Sıfır üssü (b ≠ 0 için) 1 verir, çünkü b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Negatif üs çarpmaya göre tersidir: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ; yani 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Kesirli üs bir köktür ve bir kuvvettir: b^(p/q), b'nin q. kökünün p. kuvvetidir; yani 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
| Yasa | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpım | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Bölüm | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| Kuvvetin kuvveti | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Çarpımın kuvveti | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| Negatif üs | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Sıfır üssü | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
Çalışılmış Örnek: 2¹³, Tekrarlı Karelerle
Büyük tam sayı üsler için hesaplayıcı, bir bilgisayarın ya da sabırlı bir insanın kuvveti az sayıda çarpmayla nasıl oluşturduğunu gösterir. Üssü ikili sisteme yazın, tabanın karesini tekrar tekrar alın ve 1 rakamlarına karşılık gelen kuvvetleri çarpın.
- 13 sayısının ikili karşılığı 1101'dir, yani 13 = 1 + 4 + 8.
- Tekrarlı kareler: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Karşılık gelen kuvvetleri çarpın: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
- Üç kare alma ve iki çarpma, on iki kez tek tek çarpmanın yerini tutar.
Çok Büyük Sonuçlar
Tam sayı kuvvetleri kesin büyük tam sayı aritmetiğiyle hesaplanır, bu nedenle hiçbir büyüklükte yuvarlama olmaz: 2¹⁰⁰ son basamağına kadar 1267650600228229401496703205376'dır; kayan noktalı aritmetik bunu yalnızca 1,2676506002282294 × 10³⁰ olarak yaklaşık hesaplayabilir. 20.000 basamağa kadar olan sonuçlar tamamen yazılır; bunun ötesinde hesaplayıcı logaritmalarla bir büyüklük mertebesi tahmini verir ve bunu belirtir (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²).
Bilinmesi Gereken Kabuller
- 0⁰ = 1. Kombinatorikte, kuvvet serilerinde ve çoğu yazılımda kullanılan kabuldür; bazı analiz kitapları bunu tanımsız bırakır ve hesaplayıcı bu durumu işaretler.
- Sıfırın negatif bir üssü tanımsızdır, çünkü bu sıfıra bölmek anlamına gelir.
- Negatif tabanlar ve kesirli üsler. Üs önce en sade biçimine indirgenir. Paydası tekse gerçek kök kullanılır, yani (−8)^(1/3) = −2 ve (−8)^(2/3) = 4. Paydası çiftse gerçek bir yanıt yoktur: (−4)^(1/2) karmaşık sayı 2i'dir.
- −2² ve (−2)² farklıdır. İfade olarak yazıldığında −2² = −(2²) = −4 olur. Burada taban bir sayı olduğundan, taban −2 ve üs 2 girmek 4 verir.
Sık sorulan sorular
- Negatif üs nedir?
- Negatif üs negatif bir sonuç değil, çarpmaya göre tersidir. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Cevabın işareti yalnızca tabana bağlıdır: (−2)⁻³ = −1/8.
- Kesirli üs ne anlama gelir?
- Payda kök, pay ise kuvvettir. 27^(2/3), 27'nin küp kökü olan 3'ün karesi, yani 9'dur. 1/2 üssü bir kareköktür; 9^0,5 = 3.
- Her sayının sıfırıncı kuvveti neden 1'dir?
- Çünkü bölüm kuralı bunu gerektirir: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, ve sıfırdan farklı bir sayının kendisine bölümü 1'dir. 0⁰ ayrı bir kabuldür, genellikle 1 alınır.
- 2³² ile (2³)² aynı mıdır?
- Hayır. İç içe üsler yukarıdan aşağıya hesaplanır: 2^(3²) = 2⁹ = 512, oysa (2³)² = 8² = 64. Birincisini elde etmek için üs olarak 9, ikincisi için 6 girin.
- (a + b)² değeri a² + b² midir?
- Hayır. (a + b)² = a² + 2ab + b². Üs kuralları çarpımlara uygulanır, ör. (ab)², ama toplamlara uygulanmaz. a = 3 ve b = 4 için (3 + 4)² = 49, oysa 3² + 4² = 25.
- Çok büyük bir kuvvetin tam değerini nasıl bulurum?
- Kayan noktalı bir hesaplayıcı yerine büyük tam sayı aritmetiği kullanın. Bu araç tam sayı üsler için bunu yapar ve 20.000 basamaklı sonuca kadar her basamağı gösterir.