Công Cụ Tính Lũy Thừa
Nhập cơ số và số mũ để nhận lũy thừa chính xác: kết quả là số nguyên đến chữ số cuối cùng, phân số cho số mũ âm, căn đúng khi có thể và số thập phân khi không. Cách tính được viết đầy đủ, và một bảng kiểm tra các quy tắc số mũ trên chính các số của bạn. Miễn phí, không cần đăng ký.
Một số nguyên, số thập phân hoặc phân số như 2, −1,5 hoặc 3/4.
Số nguyên, số âm, số thập phân hoặc phân số: 10, −3, 0,5 hoặc 2/3.
Chỉ dùng cho bảng quy tắc bên dưới; số nguyên.
Kết quả
1024
Kết quả
4
Số chữ số của kết quả
Cách tính
- Viết số mũ 10 ở dạng nhị phân: 1010. Nghĩa là 10 = 2 + 8.
- Bình phương liên tiếp: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Nhân các lũy thừa tương ứng với các chữ số nhị phân: 2² × 2⁸ = 1024.
Các quy tắc số mũ với số của bạn
Với cơ số của bạn và hai số mũ nguyên, hai vế của mỗi quy tắc đều cho cùng một kết quả.
| Quy tắc | Công thức | Với các số của bạn |
|---|---|---|
| Quy tắc nhân | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| Quy tắc chia | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| Lũy thừa của lũy thừa | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| Số mũ âm | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| Số mũ 0 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Lũy Thừa
- 1. Nhập cơ số. Một số nguyên, số thập phân hoặc phân số: 2, −1,5 hoặc 3/4. Để nâng một số âm lên lũy thừa, hãy đặt dấu trừ vào cơ số — nhập −2 nghĩa là tính (−2)ⁿ.
- 2. Nhập số mũ. Số nguyên (10), số âm (−3), số thập phân (0,5) và phân số (2/3) đều được. Số thập phân được đọc như phân số chính xác, nên 0,5 là 1/2.
- 3. Đọc kết quả. Lũy thừa của số nguyên hiển thị đầy đủ, kèm số chữ số và, với giá trị lớn, ký hiệu khoa học. Số mũ âm cho ra một phân số và một số thập phân; căn cho ra đáp số chính xác khi có thể, nếu không thì là số thập phân với số chữ số thập phân bạn chọn.
- 4. Theo dõi cách tính và các quy tắc. Các bước bên dưới cho thấy lũy thừa được xây dựng thế nào, còn bảng quy tắc kiểm tra quy tắc nhân, chia và lũy thừa trên cơ số của bạn.
Số Mũ Nghĩa Là Gì
Với số nguyên n ≥ 1, bⁿ nghĩa là b nhân với chính nó n lần: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Mọi loại số mũ khác đều được định nghĩa sao cho các quy tắc cũ vẫn đúng. Số mũ 0 cho ra 1 (với b ≠ 0), vì b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Số mũ âm là nghịch đảo: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, nên 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Số mũ phân số là một căn và một lũy thừa: b^(p/q) là căn bậc q của b, rồi nâng lên lũy thừa p, nên 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
| Quy tắc | Công thức | Ví dụ |
|---|---|---|
| Nhân | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Chia | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| Lũy thừa của lũy thừa | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Lũy thừa của tích | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| Số mũ âm | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Số mũ 0 | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
Ví Dụ Minh Họa: 2¹³ Bằng Bình Phương Liên Tiếp
Với số mũ nguyên lớn hơn, công cụ cho thấy cách một máy tính, hoặc một người kiên nhẫn, xây dựng lũy thừa với ít phép nhân. Viết số mũ ở dạng nhị phân, bình phương cơ số liên tiếp, rồi nhân các bình phương tương ứng với các chữ số 1.
- 13 ở dạng nhị phân là 1101, nên 13 = 1 + 4 + 8.
- Bình phương liên tiếp: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Nhân các lũy thừa tương ứng: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
- Ba lần bình phương và hai lần nhân thay thế cho mười hai lần nhân từng lần một.
Kết Quả Rất Lớn
Lũy thừa của số nguyên được tính bằng số học số nguyên lớn chính xác, nên không có làm tròn ở bất kỳ kích cỡ nào: 2¹⁰⁰ là 1267650600228229401496703205376 đến chữ số cuối cùng, còn số học dấu phẩy động chỉ có thể xấp xỉ nó thành 1,2676506002282294 × 10³⁰. Kết quả có tới 20.000 chữ số được viết ra đầy đủ; vượt quá mức đó, công cụ đưa ra ước lượng bậc độ lớn từ logarit (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) và nói rõ điều đó.
Các Quy Ước Cần Biết
- 0⁰ = 1. Đây là quy ước trong tổ hợp, chuỗi lũy thừa và hầu hết phần mềm; một số giáo trình giải tích để nó không xác định, và công cụ sẽ đánh dấu trường hợp này.
- Số 0 nâng lên lũy thừa âm không xác định, vì điều đó nghĩa là chia cho 0.
- Cơ số âm với số mũ phân số. Trước hết số mũ được rút gọn về dạng tối giản. Nếu mẫu số của nó là số lẻ, dùng căn thực, nên (−8)^(1/3) = −2 và (−8)^(2/3) = 4. Nếu mẫu số là số chẵn, không có đáp số thực: (−4)^(1/2) là số phức 2i.
- −2² và (−2)² khác nhau. Khi viết thành biểu thức, −2² nghĩa là −(2²) = −4. Ở đây cơ số là một số, nên nhập −2 với số mũ 2 cho ra 4.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Số mũ âm là gì?
- Số mũ âm nghĩa là nghịch đảo, không phải kết quả âm. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Dấu của đáp số chỉ phụ thuộc vào cơ số, nên (−2)⁻³ = −1/8.
- Số mũ phân số nghĩa là gì?
- Mẫu số là bậc của căn, còn tử số là lũy thừa. 27^(2/3) là căn bậc ba của 27, tức là 3, rồi bình phương, cho 9. Số mũ 1/2 là căn bậc hai, nên 9^0,5 = 3.
- Tại sao mọi số mũ 0 đều bằng 1?
- Vì quy tắc chia đòi hỏi như vậy: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, và một số khác 0 chia cho chính nó bằng 1. Trường hợp 0⁰ là một quy ước riêng, thường được lấy bằng 1.
- 2³² có giống (2³)² không?
- Không. Lũy thừa lồng nhau được tính từ trên xuống, nên 2^(3²) = 2⁹ = 512, còn (2³)² = 8² = 64. Để có kết quả thứ nhất, nhập 9 làm số mũ; để có kết quả thứ hai, nhập 6.
- (a + b)² có bằng a² + b² không?
- Không. (a + b)² = a² + 2ab + b². Quy tắc số mũ áp dụng cho tích, như (ab)², nhưng không áp dụng cho tổng. Với a = 3 và b = 4, (3 + 4)² = 49, còn 3² + 4² = 25.
- Làm thế nào để tìm giá trị chính xác của một lũy thừa rất lớn?
- Dùng số học số nguyên lớn thay vì máy tính số thực dấu phẩy động. Công cụ này làm vậy với số mũ nguyên và hiển thị mọi chữ số, với kết quả tới 20.000 chữ số.