Was ist ein negativer Exponent?

Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert, nicht ein negatives Ergebnis. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Das Vorzeichen des Ergebnisses hängt nur von der Basis ab, also ist (−2)⁻³ = −1/8.

Was bedeutet ein gebrochener Exponent?

Der Nenner ist die Wurzel und der Zähler die Potenz. 27^(2/3) ist die dritte Wurzel aus 27, also 3, quadriert ergibt 9. Ein Exponent von 1/2 ist eine Quadratwurzel, also 9^0,5 = 3.

Warum ist jede Zahl hoch null gleich 1?

Weil die Quotientenregel es verlangt: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, und jede von null verschiedene Zahl durch sich selbst geteilt ist 1. Der Fall 0⁰ ist eine eigene Konvention, meist als 1 angesetzt.

Ist 2³² dasselbe wie (2³)²?

Nein. Eine gestapelte Potenz wird von oben nach unten ausgewertet, also ist 2^(3²) = 2⁹ = 512, während (2³)² = 8² = 64 ist. Für das erste geben Sie 9 als Exponenten ein; für das zweite 6.

Ist (a + b)² gleich a² + b²?

Nein. (a + b)² = a² + 2ab + b². Potenzgesetze gelten für Produkte wie (ab)², aber nicht für Summen. Für a = 3 und b = 4 ist (3 + 4)² = 49, während 3² + 4² = 25 ist.

Wie finde ich den exakten Wert einer sehr großen Potenz?

Verwenden Sie Großzahlarithmetik statt eines Gleitkommarechners. Dieses Werkzeug macht das für ganzzahlige Exponenten und zeigt jede Stelle, bis zu einem Ergebnis mit 20.000 Stellen.

Potenzrechner

Geben Sie eine Basis und einen Exponenten ein, um die exakte Potenz zu erhalten: ganzzahlige Ergebnisse bis zur letzten Stelle, Brüche für negative Exponenten, exakte Wurzeln, wenn es sie gibt, und Dezimalzahlen, wenn nicht. Der Rechenweg wird aufgeschrieben, und eine Tabelle prüft die Potenzgesetze an Ihren eigenen Zahlen. Kostenlos, ohne Anmeldung.

Basis

Eine ganze Zahl, Dezimalzahl oder ein Bruch wie 2, −1,5 oder 3/4.

Exponent

Ganzzahlig, negativ, dezimal oder gebrochen: 10, −3, 0,5 oder 2/3.

Zweiter Exponent (für die Potenzgesetze)

Wird nur in der Gesetztabelle unten verwendet; ganze Zahlen.

Nachkommastellen für irrationale Ergebnisse

Ergebnisse

1024

Ergebnis

Stellen im Ergebnis

Der Rechenweg

Schreiben Sie den Exponenten 10 binär: 1010. Das heißt 10 = 2 + 8.
Quadrieren Sie wiederholt: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
Multiplizieren Sie die Potenzen, die zu den Binärstellen passen: 2² × 2⁸ = 1024.

Die Potenzgesetze mit Ihren Zahlen

Mit Ihrer Basis und den beiden ganzzahligen Exponenten sind beide Seiten jedes Gesetzes gleich.

Gesetz	Regel	Mit Ihren Zahlen
Produktregel	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192
Quotientenregel	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128
Potenz einer Potenz	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824
Negativer Exponent	a⁻ⁿ = 1 / aⁿ	2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125
Exponent null	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	2⁰ = 1

So verwenden Sie den Potenzrechner

1. Geben Sie die Basis ein. Eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl oder ein Bruch: 2, −1,5 oder 3/4. Um eine negative Zahl zu potenzieren, schreiben Sie das Minuszeichen in die Basis — die Eingabe −2 berechnet (−2)ⁿ.
2. Geben Sie den Exponenten ein. Ganze Zahlen (10), negative (−3), Dezimalzahlen (0,5) und Brüche (2/3) funktionieren alle. Dezimalzahlen werden als exakte Brüche gelesen, also ist 0,5 gleich 1/2.
3. Lesen Sie das Ergebnis ab. Ganzzahlige Potenzen erscheinen vollständig, mit Stellenanzahl und bei großen Werten in wissenschaftlicher Notation. Negative Exponenten ergeben einen Bruch und eine Dezimalzahl; Wurzeln ergeben ein exaktes Ergebnis, wenn es eines gibt, sonst eine Dezimalzahl mit den Stellen, die Sie wählen.
4. Folgen Sie dem Rechenweg und den Gesetzen. Die Schritte unten zeigen, wie die Potenz aufgebaut wird, und die Gesetztabelle prüft die Produkt-, Quotienten- und Potenzregel für Ihre Basis.

Was ein Exponent bedeutet

Für eine ganze Zahl n ≥ 1 bedeutet bⁿ, dass b n-mal mit sich selbst multipliziert wird: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Alle anderen Arten von Exponenten sind so definiert, dass dieselben Regeln weiter gelten. Ein Exponent null ergibt 1 (für b ≠ 0), weil b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Ein negativer Exponent ist ein Kehrwert: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, also 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Ein gebrochener Exponent ist eine Wurzel und eine Potenz: b^(p/q) ist die q-te Wurzel aus b, potenziert mit p, also 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Die Potenzgesetze (b ≠ 0, ganzzahlige m und n)
Gesetz	Regel	Beispiel
Produktregel	bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ	2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
Quotientenregel	bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ	2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16
Potenz einer Potenz	(bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64
Potenz eines Produkts	(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(2 × 3)² = 2² × 3² = 36
Negativer Exponent	b⁻ⁿ = 1 / bⁿ	2⁻³ = 1/8
Exponent null	b⁰ = 1	2⁰ = 1

Beispiel: 2¹³ durch wiederholtes Quadrieren

Bei größeren ganzzahligen Exponenten zeigt der Rechner, wie ein Computer oder ein geduldiger Mensch die Potenz mit wenigen Multiplikationen aufbaut. Schreiben Sie den Exponenten binär, quadrieren Sie die Basis wiederholt und multiplizieren Sie die Quadrate, die zu den Einsen passen.

13 binär ist 1101, also 13 = 1 + 4 + 8.
Wiederholtes Quadrieren: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
Die passenden Potenzen multiplizieren: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
Drei Quadrierungen und zwei Multiplikationen ersetzen zwölf Multiplikationen einzeln.

Sehr große Ergebnisse

Ganzzahlige Potenzen werden mit exakter Großzahlarithmetik berechnet, daher gibt es in keiner Größe eine Rundung: 2¹⁰⁰ ist 1267650600228229401496703205376 bis zur letzten Stelle, was Gleitkommaarithmetik nur als 1,2676506002282294 × 10³⁰ annähern kann. Ergebnisse mit bis zu 20.000 Stellen werden vollständig ausgeschrieben; darüber gibt der Rechner mit Logarithmen eine Größenordnung an (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) und weist darauf hin.

Konventionen, die Sie kennen sollten

0⁰ = 1. Das ist die Konvention der Kombinatorik, der Potenzreihen und der meisten Software; einige Analysis-Lehrbücher lassen den Fall undefiniert, und der Rechner kennzeichnet ihn.
Null hoch eine negative Potenz ist nicht definiert, da dies eine Division durch null bedeuten würde.
Negative Basen mit gebrochenen Exponenten. Der Exponent wird zuerst in gekürzter Form (teilerfremd) geschrieben. Ist sein Nenner ungerade, wird die reelle Wurzel verwendet, also (−8)^(1/3) = −2 und (−8)^(2/3) = 4. Ist er gerade, gibt es keine reelle Antwort: (−4)^(1/2) ist die komplexe Zahl 2i.
−2² und (−2)² sind verschieden. Als Ausdruck geschrieben bedeutet −2² −(2²) = −4. Hier ist die Basis eine Zahl, daher ergibt die Eingabe von −2 mit Exponent 2 den Wert 4.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein negativer Exponent?: Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert, nicht ein negatives Ergebnis. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Das Vorzeichen des Ergebnisses hängt nur von der Basis ab, also ist (−2)⁻³ = −1/8.
Was bedeutet ein gebrochener Exponent?: Der Nenner ist die Wurzel und der Zähler die Potenz. 27^(2/3) ist die dritte Wurzel aus 27, also 3, quadriert ergibt 9. Ein Exponent von 1/2 ist eine Quadratwurzel, also 9^0,5 = 3.
Warum ist jede Zahl hoch null gleich 1?: Weil die Quotientenregel es verlangt: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, und jede von null verschiedene Zahl durch sich selbst geteilt ist 1. Der Fall 0⁰ ist eine eigene Konvention, meist als 1 angesetzt.
Ist 2³² dasselbe wie (2³)²?: Nein. Eine gestapelte Potenz wird von oben nach unten ausgewertet, also ist 2^(3²) = 2⁹ = 512, während (2³)² = 8² = 64 ist. Für das erste geben Sie 9 als Exponenten ein; für das zweite 6.
Ist (a + b)² gleich a² + b²?: Nein. (a + b)² = a² + 2ab + b². Potenzgesetze gelten für Produkte wie (ab)², aber nicht für Summen. Für a = 3 und b = 4 ist (3 + 4)² = 49, während 3² + 4² = 25 ist.
Wie finde ich den exakten Wert einer sehr großen Potenz?: Verwenden Sie Großzahlarithmetik statt eines Gleitkommarechners. Dieses Werkzeug macht das für ganzzahlige Exponenten und zeigt jede Stelle, bis zu einem Ergebnis mit 20.000 Stellen.