Fakultätsrechner

Ergebnisse

Der Rechenweg

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, daher ist jede Fakultät die vorherige, multipliziert mit 20.
• Jede abschließende Null entsteht aus einem Faktor 10 = 2 × 5, und Fünfer sind seltener als Zweier. Gezählt: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• Die Doppelfakultät multipliziert jede zweite Zahl: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.715.891.200.
• Die Stirling-Formel √(2πn) (n/e)ⁿ ergibt etwa 2.4227868 × 10^18, was 0,416% unter dem exakten Wert liegt.

So verwenden Sie den Fakultätsrechner

1. 1. Geben Sie n ein. Jede ganze Zahl von 0 bis 10.000. Das Ergebnis aktualisiert sich beim Tippen.
2. 2. Lesen Sie den exakten Wert. Kleine Fakultäten erscheinen mit Tausendertrennung. Größere zeigen oben eine Angabe in wissenschaftlicher Notation und darunter alle Ziffern in einem scrollbaren Feld mit Kopierschaltfläche.
3. 3. Prüfen Sie die Zusatzwerte. Sie erhalten außerdem die Anzahl der Ziffern, die abschließenden Nullen, die Doppelfakultät n!! sowie die Stirling-Näherung mit dem Abstand, um den sie unter n! liegt.
4. 4. Probieren Sie eine Dezimalzahl. Für einen Wert wie 4,5 gibt der Rechner Γ(5,5) = 4,5! zurück, da die Gammafunktion die Fakultät auf jede Zahl erweitert außer auf die negativen ganzen Zahlen.

Was eine Fakultät ist

Die Fakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl n, geschrieben n!, ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Sie zählt, auf wie viele Arten sich n verschiedene Dinge in einer Reihe anordnen lassen – drei Bücher lassen sich in 3! = 6 Reihenfolgen aufstellen – und sie ist der Baustein von Permutationen, Kombinationen und dem binomischen Lehrsatz. Jede Fakultät ist die vorherige, multipliziert mit n: n! = n × (n − 1)!.

Warum ist 0! gleich 1? Wenn man die Regel n! = n × (n − 1)! bis n = 1 durchrechnet, ergibt sich 1! = 1 × 0!, und das gilt nur, wenn 0! = 1 ist. Auch die Zählbedeutung passt dazu (es gibt genau eine Möglichkeit, nichts anzuordnen), und ein leeres Produkt ist per Konvention 1.

Abschließende Nullen: Legendres Formel

Eine Null am Ende von n! entsteht aus einem Faktor 10 = 2 × 5. Es gibt immer mehr Faktoren 2 als 5, daher entspricht die Anzahl der abschließenden Nullen der Anzahl der Fünfer in 1 × 2 × … × n. Zählen Sie die Vielfachen von 5, addieren Sie die Vielfachen von 25 (jedes enthält eine zweite 5), dann die von 125 usw.: Nullen = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. Für 100! ergibt das 20 + 4 = 24 abschließende Nullen. 100! hat insgesamt 158 Ziffern.

Stirling-Näherung

Für große n wird n! durch √(2πn) (n/e)ⁿ angenähert. Der Näherungswert liegt stets etwas unter dem wahren Wert, um einen relativen Betrag von etwa 1/(12n): um 0,83 % bei n = 10 (3,5986956 × 10⁶ gegenüber 3.628.800) und um 0,083 % bei n = 100 (9,3248476 × 10¹⁵⁷ gegenüber 9,3326215 × 10¹⁵⁷). Die Multiplikation mit (1 + 1/(12n)) beseitigt den größten Teil des Fehlers. Mit der Näherung lässt sich die Größe riesiger Fakultäten allein aus Logarithmen abschätzen.

Doppelfakultät und Gammafunktion

Die Doppelfakultät n!! multipliziert jede zweite Zahl abwärts von n: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 und 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. Sie ist nicht (n!)!. Per Konvention gilt 0!! = 1, und n!! × (n − 1)!! = n!. Die Gammafunktion Γ(x) verallgemeinert die Fakultät: Γ(n + 1) = n! für ganze n, und sie ist auch für Dezimalzahlen definiert, etwa (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0,8862. Für null und die negativen ganzen Zahlen hat sie keinen Wert, daher existieren (−1)! und (−2)! nicht.

Häufig gestellte Fragen

Warum ist 0! gleich 1?

Weil die Regel n! = n × (n − 1)! auch für n = 1 gelten muss, was 1 = 1 × 0! ergibt. Außerdem passt es zur Zählbedeutung: Es gibt genau eine Möglichkeit, null Objekte anzuordnen, und das leere Produkt aus keiner Zahl ist 1.

Auf wie viele Nullen endet 100!?

Auf 24. Man zählt die Faktoren 5: ⌊100/5⌋ = 20 Vielfache von 5 plus ⌊100/25⌋ = 4 Vielfache von 25 ergibt 24, und es gibt genügend Faktoren 2, um sie zu paaren.

Kann man die Fakultät einer negativen Zahl oder einer Dezimalzahl bilden?

Nicht bei negativen ganzen Zahlen, bei denen die Gammafunktion Polstellen hat. Dezimalzahlen und negative Nicht-Ganzzahlen funktionieren über Γ(n + 1): 4,5! ≈ 52,34 und (−0,5)! = √π ≈ 1,7725.

Was ist eine Doppelfakultät?

n!! ist das Produkt der Zahlen von n abwärts bis 1 oder 2 in Zweierschritten, also 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 und 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3.840. Sie unterscheidet sich von (n!)!, was eine enorm große Zahl wäre.

Auf wie viele Arten lassen sich 52 Spielkarten anordnen?

52! = 8,0658175… × 10⁶⁷, eine Zahl mit 68 Ziffern. Jedes gründlich gemischte Kartenspiel ist für praktische Zwecke eine Anordnung, die noch nie jemand zuvor gehalten hat.

Wie genau ist die Stirling-Näherung?

Ihr relativer Fehler beträgt etwa 1/(12n), sie liegt also für n = 10 um 0,83 % und für n = 100 um 0,083 % zu niedrig. Der Rechner zeigt den genauen Fehler für Ihr n sowie den Fehler nach Anbringen der Korrektur 1/(12n).