फैक्टोरियल कैलकुलेटर
कोई पूर्ण संख्या n दर्ज करें और n! को अंक-दर-अंक ठीक-ठीक पाएँ, साथ में उसका डबल फैक्टोरियल n!!, अंकों और अंत के शून्यों की संख्या, तथा स्टर्लिंग का सन्निकटन उसकी त्रुटि के साथ। दशमलव मान गामा फलन से निकाले जाते हैं। निःशुल्क, पंजीकरण की ज़रूरत नहीं, और कुछ भी पूर्णांकित नहीं किया जाता।
0 से 10,000 तक की पूर्ण संख्या। 4.5 जैसा दशमलव गामा फलन का उपयोग करता है।
परिणाम
24,32,90,20,08,17,66,40,000
n!
19
n! के अंक
4
अंत के शून्य
3,71,58,91,200
डबल फैक्टोरियल, n!!
≈ 2.4227868 × 10^18
स्टर्लिंग का सन्निकटन
0.416%
यह n! से कितना नीचे रहता है
0.000831%
1/(12n) सुधार के साथ त्रुटि
गणना का विवरण
- 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!, इसलिए हर फैक्टोरियल, अपने से पहले वाले को 20 से गुणा करने पर बनता है।
- हर अंत का शून्य 10 = 2 × 5 के गुणनखंड से आता है, और 5 के गुणनखंड 2 से कम मिलते हैं। इन्हें गिनें: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4।
- डबल फैक्टोरियल हर दूसरी संख्या का गुणनफल लेता है: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3,71,58,91,200।
- स्टर्लिंग का सूत्र √(2πn) (n/e)ⁿ लगभग 2.4227868 × 10^18 देता है, जो सच्चे मान से 0.416% नीचे है।
फैक्टोरियल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. n दर्ज करें। 0 से 10,000 तक कोई भी पूर्ण संख्या। परिणाम टाइप करते समय ही अपडेट हो जाता है।
- 2. सटीक मान पढ़ें। छोटे फैक्टोरियल अंकों के समूहों के साथ दिखते हैं। बड़े फैक्टोरियल का मुख्य शीर्षक वैज्ञानिक संकेतन में होता है, और हर अंक एक स्क्रॉल होने वाले बॉक्स में दिखता है, जिसके साथ कॉपी करने का बटन है।
- 3. अतिरिक्त जानकारी देखें। आपको अंकों की संख्या, अंत के शून्य, डबल फैक्टोरियल n!! और स्टर्लिंग का सन्निकटन मिलता है, साथ में यह भी कि वह n! से कितना नीचे रहता है।
- 4. दशमलव आज़माएँ। 4.5 जैसे मान के लिए कैलकुलेटर Γ(5.5) = 4.5! देता है, क्योंकि गामा फलन फैक्टोरियल को हर संख्या तक बढ़ा देता है, ऋणात्मक पूर्ण संख्याओं को छोड़कर।
फैक्टोरियल क्या है
किसी गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्या n का फैक्टोरियल, जिसे n! लिखा जाता है, 1 से n तक की सभी पूर्ण संख्याओं का गुणनफल है: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120। यह गिनता है कि n अलग-अलग चीज़ें एक कतार में कितने तरीकों से रखी जा सकती हैं। तीन किताबें 3! = 6 क्रमों में लगाई जा सकती हैं। यह क्रमचय, संचय और द्विपद प्रमेय की नींव है। हर फैक्टोरियल, अपने से पहले वाले को n से गुणा करने पर बनता है: n! = n × (n − 1)!।
0! का मान 1 क्यों है? नियम n! = n × (n − 1)! को n = 1 तक लागू करने पर 1! = 1 × 0! मिलता है, और यह तभी सही है जब 0! = 1 हो। यह गिनती के अर्थ से भी मेल खाता है (शून्य चीज़ों को व्यवस्थित करने का ठीक एक तरीका है), और इस परंपरा से भी कि खाली गुणनफल 1 होता है।
| n | n! | अंत के शून्य |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 3 | 6 | 0 |
| 4 | 24 | 0 |
| 5 | 120 | 1 |
| 6 | 720 | 1 |
| 7 | 5,040 | 1 |
| 8 | 40,320 | 1 |
| 9 | 362,880 | 1 |
| 10 | 3,628,800 | 2 |
| 15 | 1,307,674,368,000 | 3 |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 | 4 |
अंत के शून्य: लीजेंड्र का सूत्र
n! के अंत में आने वाला शून्य 10 = 2 × 5 के गुणनखंड से बनता है। 2 के गुणनखंड सदा 5 के गुणनखंडों से अधिक होते हैं, इसलिए अंत के शून्यों की संख्या 1 × 2 × … × n में आए 5 के गुणनखंडों के बराबर है। 5 के गुणज गिनें, फिर 25 के गुणज जोड़ें (हर एक में 5 का दूसरा गुणनखंड छिपा है), फिर 125 के, और इसी तरह: शून्य = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …। 100! के लिए यह 20 + 4 = 24 है। 100! में कुल 158 अंक हैं।
स्टर्लिंग का सन्निकटन
बड़े n के लिए n! को √(2πn) (n/e)ⁿ से सन्निकट किया जाता है। यह हमेशा सच्चे मान से थोड़ा नीचे रहता है, लगभग 1/(12n) के सापेक्ष अंतर से: n = 10 पर 0.83% (3.5986956 × 10⁶ बनाम 3,628,800) और n = 100 पर 0.083% (9.3248476 × 10¹⁵⁷ बनाम 9.3326215 × 10¹⁵⁷)। (1 + 1/(12n)) से गुणा करने पर त्रुटि का बड़ा हिस्सा मिट जाता है। इस सन्निकटन से लघुगणकों के सहारे ही बहुत बड़े फैक्टोरियल के आकार का अनुमान लगाया जा सकता है।
डबल फैक्टोरियल और गामा फलन
डबल फैक्टोरियल n!! n से शुरू करके हर दूसरी संख्या का गुणनफल है: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945, और 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384। यह (n!)! नहीं है। परंपरा के अनुसार 0!! = 1, और n!! × (n − 1)!! = n!। गामा फलन Γ(x) फैक्टोरियल को सामान्य बनाता है: पूर्ण n के लिए Γ(n + 1) = n!, और यह दशमलव संख्याओं के लिए भी परिभाषित है, जैसे (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0.8862। शून्य और ऋणात्मक पूर्ण संख्याओं पर इसका कोई मान नहीं है, इसलिए (−1)! और (−2)! का अस्तित्व नहीं है।
कंप्यूटर पर फैक्टोरियल कितने बड़े हो सकते हैं?
20! = 2,432,902,008,176,640,000 सबसे बड़ा फैक्टोरियल है जो साइन्ड 64-बिट पूर्ण संख्या में समाता है, और 170! ≈ 7.26 × 10³⁰⁶ सबसे बड़ा है जो डबल-प्रिसिज़न संख्या में समाता है। यह कैलकुलेटर मनमाने आकार की पूर्ण संख्याओं का उपयोग करता है, इसलिए 10,000! की गणना ठीक-ठीक होती है, 35,660 अंकों के साथ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- 0! का मान 1 क्यों है?
- क्योंकि फैक्टोरियल का नियम n! = n × (n − 1)! n = 1 पर भी सही होना चाहिए, जो 1 = 1 × 0! देता है। यह गिनती के अर्थ से भी मेल खाता है: शून्य चीज़ों को व्यवस्थित करने का ठीक एक तरीका है, और किसी भी संख्या का गुणनफल न हो तो वह 1 होता है।
- 100! के अंत में कितने शून्य होते हैं?
- 24। 5 के गुणनखंड गिनें: ⌊100/5⌋ = 20 गुणज 5 के, और ⌊100/25⌋ = 4 गुणज 25 के, कुल 24। इनके साथ जोड़ी बनाने के लिए 2 के गुणनखंड भरपूर हैं।
- क्या ऋणात्मक संख्या या दशमलव का फैक्टोरियल निकाला जा सकता है?
- ऋणात्मक पूर्ण संख्या का नहीं, क्योंकि वहाँ गामा फलन के ध्रुव होते हैं। दशमलव और ऋणात्मक गैर-पूर्णांक Γ(n + 1) के ज़रिए काम करते हैं: 4.5! ≈ 52.34 और (−0.5)! = √π ≈ 1.7725।
- डबल फैक्टोरियल क्या है?
- n!! n से शुरू होकर दो-दो की छलाँग में 1 या 2 तक घटती संख्याओं का गुणनफल है, तो 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 और 10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3,840। यह (n!)! से अलग है, जो एक विशाल संख्या होती।
- 52 ताश के पत्तों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
- 52! = 8.0658175… × 10⁶⁷, जो 68 अंकों की संख्या है। अच्छी तरह फेंटी गई कोई भी गड्डी व्यावहारिक रूप से ऐसा क्रम है जो पहले किसी ने कभी नहीं देखा।
- स्टर्लिंग के सन्निकटन की सटीकता कितनी है?
- इसकी सापेक्ष त्रुटि लगभग 1/(12n) है, इसलिए n = 10 के लिए यह 0.83% और n = 100 के लिए 0.083% कम होता है। कैलकुलेटर आपके n के लिए सटीक त्रुटि और 1/(12n) सुधार जोड़ने के बाद की त्रुटि, दोनों दिखाता है।