गुणनखंडन कैलकुलेटर

गुणनखंडित रूप

चरण-दर-चरण

1. AC विधि: a × c = 6 × (−12) = −72 का गुणा करें। दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल −72 और योग b = 1 हो: वे −8 और 9 हैं।

2. उन दो संख्याओं का उपयोग करके मध्य पद तोड़ें।

   6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12

3. पदों को जोड़ों में बाँटें और हर जोड़े में से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें।

   2x(3x − 4) + 3(3x − 4)

4. अब दोनों जोड़ों में एक ही कोष्ठक है; उसे बाहर निकालें।

   (3x − 4)(2x + 3)

फैलाकर जाँच

गुणनखंडों को वापस फैलाने पर 6x² + x − 12 मिलता है, वही बहुपद जो आपने दर्ज किया था।

गुणनखंडन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. बहुपद टाइप करें। जैसे 6x^2 + x − 12 या x^3 + 8। एक ही चर का उपयोग करें; घातों को ^ से या सुपरस्क्रिप्ट में लिखा जा सकता है, और कोष्ठकों को पहले खोला जाता है।
2. 2. गुणनखंडित रूप पढ़ें। यह गुणनफल के रूप में दिखता है, जिसमें दोहराए गए गुणनखंड घातों में लिखे जाते हैं, और कैलकुलेटर बताता है कि बहुपद अभाज्य है या नहीं।
3. 3. चरण देखें। हर पंक्ति वह विधि बताती है जो लगाई गई, और बहुपद को पहले और बाद में दिखाती है, उसी क्रम में जिसमें कोई शिक्षक उन्हें आज़माएगा।
4. 4. जाँचें। गुणनखंडों को फैलाकर उनकी तुलना उस व्यंजक से की जाती है जो आपने टाइप किया था।

विधियाँ किस क्रम में आज़माएँ

AC विधि: 6x² + x − 12

1. a और c का गुणा करें। 6 × (−12) = −72।
2. दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल −72 हो और योग b = 1 हो: वे −8 और 9 हैं।
3. मध्य पद तोड़ें। 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12।
4. जोड़ों का समूह बनाएँ और हर जोड़े का गुणनखंड करें। 2x(3x − 4) + 3(3x − 4)।
5. साझा कोष्ठक बाहर निकालें। (3x − 4)(2x + 3)।

जब a = 1 हो, तो यह विधि परिचित शॉर्टकट बन जाती है: x² + 5x + 6 के लिए दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल 6 और योग 5 हो, यानी 2 और 3, और (x + 2)(x + 3) लिखें। यदि ऐसा कोई पूर्णांक युग्म न हो, तो विवेचक b² − 4ac पूर्ण वर्ग नहीं होता और द्विघात पूर्णांकों पर अभाज्य है।

अन्य हल किए गए उदाहरण

यहाँ “अभाज्य” का अर्थ क्या है

एक बहुपद पूर्णांकों पर अभाज्य (या अविघटनीय) कहलाता है, जब उसे पूर्ण-संख्या गुणांकों वाले निम्न-घात बहुपदों के गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता। x² + 4 और x² + x + 1 अभाज्य हैं। अभाज्यता संख्या-पद्धति पर निर्भर करती है: x² − 2 पूर्णांकों पर अभाज्य है, पर वास्तविक संख्याओं पर (x − √2)(x + √2) बन जाता है, और x² + 4 सम्मिश्र संख्याओं पर (x − 2i)(x + 2i) बन जाता है। यह कैलकुलेटर परिमेय संख्याओं पर गुणनखंड करता है, जो पूर्ण-संख्या बहुपदों के लिए पूर्णांकों पर गुणनखंड जैसा ही परिणाम देता है।

सामान्य गलतियाँ

• GCF छोड़ देना। 2x² + 10x + 12 को 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3) के रूप में लेना आसान है। पहले हमेशा उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें।
• AC चरण में चिह्न की गलती। यदि c ऋणात्मक है तो दोनों संख्याओं के चिह्न विपरीत होते हैं; यदि c धनात्मक है तो उनका चिह्न b के चिह्न जैसा होता है।
• वर्गों के योग का गुणनखंड करने की कोशिश। x² + 9 पूर्णांकों पर अभाज्य है; केवल वर्गों का अंतर ही गुणनखंडित होता है।
• घनों के सूत्र गड़बड़ाना। दूसरे कोष्ठक का बीच वाला चिह्न हमेशा पहले कोष्ठक के चिह्न का उलटा होता है: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) और A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)।
• जल्दी रुक जाना। x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) अधूरा है: x² − 4 फिर से गुणनखंडित होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

त्रिपद ax² + bx + c का गुणनखंड कैसे करें?

AC विधि का उपयोग करें। a और c का गुणा करें, ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल ac हो और योग b हो, उनसे मध्य पद तोड़ें, हर जोड़े का गुणनखंड करें, और साझा कोष्ठक बाहर निकालें। जब a = 1 हो, तो आपको बस ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल c और योग b हो।

वर्गों के अंतर का सूत्र क्या है?

A² − B² = (A − B)(A + B)। यह तब लागू होता है जब द्विपद एक पूर्ण वर्ग में से दूसरा पूर्ण वर्ग घटाने पर बने, जैसे 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5)। x² + 25 जैसा वर्गों का योग पूर्णांकों पर गुणनखंडित नहीं होता।

घनों के योग और अंतर के सूत्र क्या हैं?

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) और A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)। 27x³ − 1 के लिए A = 3x और B = 1 है, इसलिए यह (3x − 1)(9x² + 3x + 1) बनता है।

मैं कैसे जानूँ कि कोई बहुपद अभाज्य है?

द्विघात के लिए विवेचक b² − 4ac जाँचें: यदि वह पूर्ण वर्ग नहीं है, तो कोई परिमेय मूल नहीं है और द्विघात पूर्णांकों पर अभाज्य है। घन तब अभाज्य होता है जब उसका कोई परिमेय मूल न हो। उच्च घातों के लिए कोई सरल परीक्षण नहीं है।

समूहन द्वारा गुणनखंड क्या है?

चार पदों के लिए, उन्हें दो जोड़ों में बाँटें, हर जोड़े में से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालें, और यदि कोष्ठक मेल खाते हैं तो कोष्ठक को बाहर निकालें। x³ + 2x² + 3x + 6 बनता है x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3)।

उभयनिष्ठ गुणनखंड कभी-कभी ऋणात्मक क्यों होता है?

जब अग्रणी गुणांक ऋणात्मक हो, तो कैलकुलेटर ऋणात्मक उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालता है, ताकि कोष्ठक के अंदर का बहुपद धनात्मक से शुरू हो। −2x² + 8 बनता है −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2)। दोनों परिपाटियाँ सही हैं; देखें कि आपके कोर्स में कौन-सी अपेक्षित है।

क्या मैं गुणनखंडन स्वयं जाँच सकता हूँ?

हाँ, गुणनखंडों को वापस गुणा करें। यदि मूल बहुपद मिल जाए, तो गुणनखंडन सही है। कैलकुलेटर अंतिम जाँच में यह आपके लिए करता है।