Kalkulator Pemfaktoran
Masukkan polinomial dan dapatkan pemfaktoran lengkapnya atas bilangan bulat, dengan setiap langkah dituliskan: faktor persekutuan terbesar, lalu selisih kuadrat, kuadrat sempurna, jumlah dan selisih kubus, metode AC untuk ax² + bx + c, pengelompokan, atau teorema akar rasional. Faktor-faktornya dikalikan kembali sebagai pemeriksaan, dan polinomial yang tidak dapat difaktorkan disebut prima. Gratis, tanpa pendaftaran.
Satu huruf, misalnya 6x^2 + x − 12, x^3 + 8 atau 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6. Pangkat ditulis dengan ^ atau superskrip.
Bentuk terfaktor
(3x − 4)(2x + 3)
Pemfaktoran
Difaktorkan sepenuhnya
Status
Langkah demi langkah
Metode AC: kalikan a × c = 6 × (−12) = −72. Cari dua bilangan yang hasil kalinya −72 dan jumlahnya b = 1: keduanya adalah −8 dan 9.
Pecah suku tengah menggunakan kedua bilangan itu.
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
Kelompokkan suku-suku menjadi pasangan dan keluarkan faktor persekutuan dari setiap pasangan.
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
Kedua pasangan kini memiliki kurung yang sama; keluarkan kurung itu.
(3x − 4)(2x + 3)
Periksa dengan mengembangkan
Mengalikan kembali faktor-faktornya menghasilkan 6x² + x − 12, yaitu polinomial yang Anda masukkan.
Cara Menggunakan Kalkulator Pemfaktoran
- 1. Ketik polinomialnya. Misalnya 6x^2 + x − 12 atau x^3 + 8. Gunakan satu huruf; pangkat dapat ditulis dengan ^ atau sebagai superskrip, dan tanda kurung diekspansi terlebih dahulu.
- 2. Baca bentuk terfaktornya. Bentuk itu muncul sebagai hasil kali, dengan faktor yang berulang ditulis sebagai pangkat, dan kalkulator memberi tahu apakah polinomial itu prima.
- 3. Ikuti langkah-langkahnya. Setiap baris menyebutkan metode yang dipakai dan menunjukkan polinomial sebelum dan sesudahnya, dalam urutan yang akan dicoba oleh seorang guru.
- 4. Periksa. Faktor-faktornya diekspansi dan dibandingkan dengan yang Anda ketik.
Urutan Metode yang Sebaiknya Dicoba
| Cari | Pola | Difaktorkan menjadi |
|---|---|---|
| Faktor persekutuan di setiap suku | ab + ac | a(b + c) — selalu didahulukan, termasuk tanda minus jika suku utama bernilai negatif |
| Dua suku, keduanya kuadrat sempurna dan dikurangkan | A² − B² | (A − B)(A + B) |
| Dua suku, keduanya kubus sempurna | A³ + B³ atau A³ − B³ | (A + B)(A² − AB + B²) atau (A − B)(A² + AB + B²) |
| Tiga suku, suku pertama dan terakhir kuadrat sempurna | A² ± 2AB + B² | (A ± B)² |
| Tiga suku, ax² + bx + c | Dua bilangan dengan hasil kali ac dan jumlah b | Metode AC, di bawah |
| Empat suku | Pasangan berbagi kurung | Pemfaktoran dengan pengelompokan |
| Lainnya | Akar rasional p/q | Bagi keluar (qx − p) dan ulangi |
Metode AC: 6x² + x − 12
- Kalikan a dan c. 6 × (−12) = −72.
- Cari dua bilangan yang hasil kalinya −72 dan jumlahnya b = 1: keduanya adalah −8 dan 9.
- Pecah suku tengah. 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12.
- Kelompokkan dan faktorkan setiap pasangan. 2x(3x − 4) + 3(3x − 4).
- Keluarkan kurung yang sama. (3x − 4)(2x + 3).
Jika a = 1, metode ini menjadi jalan pintas yang sudah dikenal: untuk x² + 5x + 6 cari dua bilangan dengan hasil kali 6 dan jumlah 5 — yaitu 2 dan 3 — lalu tulis (x + 2)(x + 3). Jika tidak ada pasangan bilangan bulat seperti itu, diskriminan b² − 4ac bukan kuadrat sempurna dan kuadrat tersebut prima atas bilangan bulat.
Contoh Lain yang Dikerjakan
| Polinomial | Metode | Bentuk terfaktor |
|---|---|---|
| 12x³ − 27x | FPB 3x, lalu selisih kuadrat (2x)² − 3² | 3x(2x − 3)(2x + 3) |
| 27x³ − 1 | Selisih kubus (3x)³ − 1³ | (3x − 1)(9x² + 3x + 1) |
| x³ + 2x² + 3x + 6 | Pengelompokan: x²(x + 2) + 3(x + 2) | (x + 2)(x² + 3) |
| 2x³ − 3x² − 11x + 6 | Akar rasional x = 1/2, lalu kuadratnya | (x − 3)(2x − 1)(x + 2) |
| x⁴ + 4 | Dua kuadrat (identitas Sophie Germain) | (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) |
Arti "Prima" di Sini
Polinomial disebut prima (atau tak tereduksi) atas bilangan bulat jika tidak dapat ditulis sebagai hasil kali polinomial berderajat lebih rendah dengan koefisien bilangan bulat. x² + 4 dan x² + x + 1 adalah prima. Prima bergantung pada sistem bilangannya: x² − 2 prima atas bilangan bulat tetapi terfaktor sebagai (x − √2)(x + √2) atas bilangan real, dan x² + 4 terfaktor sebagai (x − 2i)(x + 2i) atas bilangan kompleks. Kalkulator ini memfaktorkan atas bilangan rasional, yang untuk polinomial koefisien bulat memberikan hasil yang sama dengan pemfaktoran atas bilangan bulat.
Batasan
Kuadrat dan kubik selalu difaktorkan sepenuhnya. Untuk derajat 4 ke atas kalkulator menggunakan pola, pengelompokan, akar rasional, dan pencarian dua faktor kuadrat. Faktor yang tidak dipecah oleh semua itu dilaporkan sebagai sisa, dengan catatan, dan tidak disebut prima.
Kesalahan Umum
- Melewatkan FPB. 2x² + 10x + 12 lebih mudah sebagai 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3). Selalu keluarkan faktor persekutuan terlebih dahulu.
- Kesalahan tanda pada langkah AC. Jika c negatif, kedua bilangan memiliki tanda berlawanan; jika c positif, keduanya bertanda sama — yaitu tanda dari b.
- Mencoba memfaktorkan jumlah kuadrat. x² + 9 prima atas bilangan bulat; hanya selisih kuadrat yang dapat difaktorkan.
- Tertukar rumus kubus. Tanda pada kurung kedua selalu berlawanan dengan tanda pada kurung pertama, baik untuk jumlah maupun selisih: A³ + B³ memiliki A² − AB + B², dan A³ − B³ memiliki A² + AB + B².
- Berhenti terlalu cepat. x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) belum selesai: x² − 4 difaktorkan lagi.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara memfaktorkan trinomial ax² + bx + c?
- Gunakan metode AC. Kalikan a dan c, cari dua bilangan yang hasil kalinya ac dan jumlahnya b, pecah suku tengah dengan kedua bilangan itu, faktorkan setiap pasangan, lalu keluarkan kurung yang sama. Jika a = 1, Anda hanya memerlukan dua bilangan dengan hasil kali c dan jumlah b.
- Apa rumus selisih kuadrat?
- A² − B² = (A − B)(A + B). Rumus ini berlaku ketika sebuah binomial adalah kuadrat sempurna dikurangi kuadrat sempurna, misalnya 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5). Jumlah kuadrat seperti x² + 25 tidak dapat difaktorkan atas bilangan bulat.
- Apa rumus jumlah dan selisih kubus?
- A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) dan A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²). Untuk 27x³ − 1, A = 3x dan B = 1, sehingga terfaktor sebagai (3x − 1)(9x² + 3x + 1).
- Bagaimana saya tahu bahwa suatu polinomial prima?
- Untuk kuadrat, periksa diskriminan b² − 4ac: jika bukan kuadrat sempurna, tidak ada akar rasional dan kuadrat itu prima atas bilangan bulat. Kubik prima jika tidak memiliki akar rasional. Untuk derajat yang lebih tinggi, tidak ada uji sederhana.
- Apa itu pemfaktoran dengan pengelompokan?
- Untuk empat suku, bagi menjadi dua pasangan, keluarkan faktor persekutuan terbesar dari masing-masing, dan jika kurungnya sama, keluarkan kurung itu. x³ + 2x² + 3x + 6 menjadi x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3).
- Mengapa faktor persekutuan kadang negatif?
- Ketika koefisien utama bernilai negatif, kalkulator mengeluarkan faktor persekutuan negatif, sehingga polinomial di dalam kurung dimulai dengan nilai positif. −2x² + 8 menjadi −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2). Kedua konvensi itu benar; periksa mana yang diharapkan mata kuliah Anda.
- Dapatkah saya memeriksa pemfaktoran sendiri?
- Ya, kalikan kembali faktor-faktornya. Jika Anda mendapatkan polinomial asli, pemfaktorannya benar. Kalkulator melakukan ini untuk Anda dalam pemeriksaan akhir.