如何分解三项式 ax² + bx + c?

使用 AC 方法。将 a 与 c 相乘,找两个数,使其乘积为 ac、和为 b,用它们拆分中间项,然后分解每一对,并提出相同的括号。当 a = 1 时,只需找两个积为 c、和为 b 的数。

平方差公式是什么?

A² − B² = (A − B)(A + B)。它适用于二项式为一个完全平方减去另一个完全平方的情形,例如 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5)。像 x² + 25 这样的平方和在整数范围内不能分解。

立方和与立方差的公式是什么?

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²),A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)。对于 27x³ − 1,A = 3x,B = 1,因此分解为 (3x − 1)(9x² + 3x + 1)。

如何判断一个多项式是否不可约?

对于二次式,检查判别式 b² − 4ac:若它不是完全平方数,则没有有理根,该二次式在整数范围内不可约。三次式没有有理根时即不可约。对于更高次数,没有简单的判别方法。

什么是分组分解?

对于四项式,将其分为两对,分别提出每对的最大公因式;若两个括号相同,则将该括号提出。x³ + 2x² + 3x + 6 变为 x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3)。

为什么公因式有时是负的?

当首项系数为负时,计算器会提出一个负的公因式,使括号内的多项式以正数开头。−2x² + 8 变为 −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2)。两种约定都正确;请确认您的课程要求哪一种。

我能自己检验因式分解吗?

可以,把各因式乘开。如果得到原多项式,分解就是正确的。计算器在最后的检验中会替您完成这一步。

因式分解计算器

输入一个多项式,即可得到它在整数范围内的完整因式分解,并写出每一步:先提取最大公因式,然后是平方差、完全平方、立方和与立方差、ax² + bx + c 的 AC 方法、分组法,或有理根定理。最后会把各因式展开作为检验;无法再分解的多项式称为不可约。免费,无需注册。

待分解的多项式

一个字母,例如 6x^2 + x − 12、x^3 + 8 或 2x^3 − 3x^2 − 11x + 6。幂可以使用 ^ 或上标。

试用示例

分解结果

(3x − 4)(2x + 3)

因式分解

已完全分解

状态

分步说明

AC 方法:相乘 a × c = 6 × (−12) = −72。找两个数,使其乘积为 −72,和为 b = 1:它们是 −8 和 9。
用这两个数拆分中间项。
6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12
将各项两两分组,并从每一对中提出公因式。
2x(3x − 4) + 3(3x − 4)
两对现在有相同的括号;将其提出。
(3x − 4)(2x + 3)

展开检验

将各因式乘开得到 6x² + x − 12,即您输入的多项式。

如何使用因式分解计算器

1. 输入多项式。 例如 6x^2 + x − 12 或 x^3 + 8。只使用一个字母;幂可以用 ^ 或上标表示,括号会先被展开。
2. 读取因式分解结果。 结果以乘积形式显示,重复的因式写成幂的形式,并会说明该多项式是否不可约。
3. 按步骤查看。 每一行都说明所用的方法,并显示该步前后的多项式,顺序与老师通常尝试的顺序一致。
4. 检验。 各因式会被展开,并与您输入的内容进行比较。

尝试方法的顺序

寻找	模式	分解为
每一项都有公因式	ab + ac	a(b + c) —— 总是首先进行,若首项为负,则包括负号
两项,都是完全平方且相减	A² − B²	(A − B)(A + B)
两项,都是完全立方	A³ + B³ 或 A³ − B³	(A + B)(A² − AB + B²) 或 (A − B)(A² + AB + B²)
三项,首项和末项都是完全平方	A² ± 2AB + B²	(A ± B)²
三项,ax² + bx + c	两个数,积为 ac,和为 b	AC 方法,见下文
四项	两两成对并有共同括号	分组分解
其他情况	有理根 p/q	除出 (qx − p) 后重复

AC 方法:6x² + x − 12

相乘 a 与 c。 6 × (−12) = −72。
找两个数,它们的乘积为 −72,和为 b = 1:即 −8 和 9。
拆分中间项。 6x² + x − 12 = 6x² − 8x + 9x − 12。
两两分组并分解。 2x(3x − 4) + 3(3x − 4)。
提出相同的括号。 (3x − 4)(2x + 3)。

当 a = 1 时,这种方法就简化为熟悉的捷径:对于 x² + 5x + 6,找两个积为 6、和为 5 的数——2 和 3——于是写成 (x + 2)(x + 3)。若不存在这样的整数对,则判别式 b² − 4ac 不是完全平方数,该二次式在整数范围内不可约。

其他示例

多项式	方法	因式分解结果
12x³ − 27x	公因式 3x,然后用平方差 (2x)² − 3²	3x(2x − 3)(2x + 3)
27x³ − 1	立方差 (3x)³ − 1³	(3x − 1)(9x² + 3x + 1)
x³ + 2x² + 3x + 6	分组:x²(x + 2) + 3(x + 2)	(x + 2)(x² + 3)
2x³ − 3x² − 11x + 6	有理根 x = 1/2,然后分解二次式	(x − 3)(2x − 1)(x + 2)
x⁴ + 4	两个二次式(索菲·热尔曼恒等式)	(x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)

“不可约”在这里的含义

当一个多项式不能写成系数为整数、次数更低的多项式之积时,它在整数范围内是不可约的。x² + 4 与 x² + x + 1 都是不可约的。“不可约”取决于数系:x² − 2 在整数范围内不可约,但在实数范围内可分解为 (x − √2)(x + √2);x² + 4 在复数范围内可分解为 (x − 2i)(x + 2i)。本计算器在有理数范围内分解,对于整系数多项式,其结果与在整数范围内分解相同。

局限

二次式和三次式总是被完全分解。对于四次及以上,计算器使用模式、分组、有理根以及寻找两个二次因式的方法。若这些方法都无法分解某个因式,则会以备注的形式说明它被保留下来,而不会称其为不可约。

常见错误

跳过公因式。 2x² + 10x + 12 更容易化为 2(x² + 5x + 6) = 2(x + 2)(x + 3)。应始终先提取公因式。
AC 步骤中的符号错误。 若 c 为负,则两个数的符号相反;若 c 为正,则两数同号,且符号与 b 相同。
试图分解平方和。 x² + 9 在整数范围内不可约;只有平方差才能分解。
混淆立方公式。 第二个括号中间项的符号总是与第一个括号中的符号相反:A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²),A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)。
中途停止。 x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) 尚未完成:x² − 4 还可以继续分解。

常见问题

如何分解三项式 ax² + bx + c?: 使用 AC 方法。将 a 与 c 相乘,找两个数,使其乘积为 ac、和为 b,用它们拆分中间项,然后分解每一对,并提出相同的括号。当 a = 1 时,只需找两个积为 c、和为 b 的数。
平方差公式是什么?: A² − B² = (A − B)(A + B)。它适用于二项式为一个完全平方减去另一个完全平方的情形,例如 9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5)。像 x² + 25 这样的平方和在整数范围内不能分解。
立方和与立方差的公式是什么?: A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²),A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)。对于 27x³ − 1,A = 3x,B = 1,因此分解为 (3x − 1)(9x² + 3x + 1)。
如何判断一个多项式是否不可约?: 对于二次式,检查判别式 b² − 4ac:若它不是完全平方数,则没有有理根,该二次式在整数范围内不可约。三次式没有有理根时即不可约。对于更高次数,没有简单的判别方法。
什么是分组分解?: 对于四项式,将其分为两对,分别提出每对的最大公因式;若两个括号相同,则将该括号提出。x³ + 2x² + 3x + 6 变为 x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x² + 3)。
为什么公因式有时是负的?: 当首项系数为负时,计算器会提出一个负的公因式,使括号内的多项式以正数开头。−2x² + 8 变为 −2(x² − 4) = −2(x − 2)(x + 2)。两种约定都正确;请确认您的课程要求哪一种。
我能自己检验因式分解吗?: 可以,把各因式乘开。如果得到原多项式,分解就是正确的。计算器在最后的检验中会替您完成这一步。