复数计算器

结果

计算过程

1. 做除法时,把分子与分母同乘以除数的共轭复数,使分母变为实数。

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. 分母变为 c² + d²,是实数。

   1² + (−2)² = 5

3. 展开分子的乘积。

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. 用分母分别除分子的实部与虚部。

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

复平面

如何使用复数计算器

1. 1. 选择您需要的功能。 算术运算处理两个数 z₁ 与 z₂。极坐标形式处理 z₁。幂与方根则处理 z₁ 以及 2 至 24 之间的整数 n。
2. 2. 输入数字。 可写成 3 + 4i、−2i、1/2 − 3/4 i,甚至 (1 + i)(2 − i)。虚数单位用 i,若您习惯工程记号,也可用 j。分数和小数都会被精确读取。
3. 3. 阅读结果。 和、积、商以及整数幂都是精确的分数。模、辐角和方根在可能时以精确形式给出,否则以四位小数的近似值给出。
4. 4. 查看计算过程与图示。 每一步都会写出,数字则在复平面上以箭头画出。

直角坐标形式的运算

乘法就是普通的展开,再加上一条事实 i² = −1:(3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i。除法借助共轭,因为 (c + di)(c − di) = c² + d² 是一个实数。对于 (3 + 4i) ÷ (1 − 2i),分母变为 1² + (−2)² = 5,分子变为 (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i,因此商为 (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i。

模、辐角与极坐标形式

模 |z| = √(a² + b²) 是到原点的距离。辐角 θ 是从正实轴出发的角。本计算器给出主值,范围为 −π < θ ≤ π,并按象限作出调整:第一、四象限为 arctan(b/a),第二象限加上 180°,第三象限减去 180°。以 z = 3 + 4i 为例:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0.9273 rad = 53.1301°
极坐标形式:       5(cos 53.1301° + i sin 53.1301°)
指数形式:         5 × e^(i × 0.9273)

在坐标轴或对角线上,辐角是 π/4 的简单倍数,本计算器会精确写出:−1 + i 的模为 √2,辐角为 3π/4。零的模为 0,但没有辐角,因此没有极坐标形式。

幂与方根:棣莫弗定理

棣莫弗定理指出 (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ):模取幂,辐角乘以幂次。例如 (1 + i)⁸ 的模为 (√2)⁸ = 16,辐角为 8 × 45° = 360°,因此它恰好等于 16。计算器会精确展开幂,并在旁边列出棣莫弗计算,作为核对。

每个非零数恰有 n 个互不相同的 n 次方根。它们具有相同的模 r^(1/n),辐角为 (θ + 360°k)/n,其中 k = 0, 1, …, n − 1,因此它们位于以原点为中心的正多边形的顶点上。−8 的模为 8、辐角为 π,它的立方根模为 2,辐角为 π/3、π 和 5π/3:1 + 1.7321i、−2 与 1 − 1.7321i。3 + 4i 的平方根恰好是 2 + i 与 −2 − i。

i 的幂

要求 iⁿ,请用 n 除以 4 并取余数。例如 i⁵⁷ = i¹ = i,因为 57 = 4 × 14 + 1。

常见错误

• 忘记 i² = −1。 相乘时 bd 项的符号会改变,因此是 (ac − bd),而不是 (ac + bd)。
• 做除法时不用共轭。 分子与分母同乘以分母的共轭,正是消去分母中 i 的办法。
• 在每个象限都取 arctan(b/a)。 计算器的 arctan 只返回 −90° 至 90°,因此第二、三象限的数需要加减 180°。
• 只报告一个方根。 z^(1/n) 有 n 个值;主方根只是 k = 0 的那一个。
• 在 cos 与 sin 中混用角度与弧度。 53.13° 与 0.9273 rad 是同一个角。

常见问题

如何做复数除法?

把分子与分母同乘以分母的共轭复数。新分母为 c² + d²,是实数,然后用它分别除新分子的实部与虚部。对于 (3 + 4i) ÷ (1 − 2i),答案是 −1 + 2i。

复数的模与辐角是什么?

模是长度 √(a² + b²),即复平面上到原点的距离。辐角是从正实轴到该数的角,主值范围在 −180° 与 180° 之间。二者合起来给出极坐标形式 r(cos θ + i sin θ)。

复数的指数形式是什么?

由欧拉公式 e^(iθ) = cos θ + i sin θ,可把 z = r(cos θ + i sin θ) 写成 re^(iθ),其中 θ 以弧度表示。对于 3 + 4i,即 5e^(0.9273i)。这使乘法变得容易:模相乘,辐角相加。

什么是棣莫弗定理?

它指出 (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ,因此 zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)。它把幂运算转化为模与辐角的变化,而当指数为分数时,它给出 n 次方根。

一个复数有多少个 n 次方根?

如果该数不为零,恰好有 n 个。它们具有相同的模,辐角相隔 360°/n,因此构成一个正 n 边形。像 −8 这样的实数有三个立方根:一个实数根和两个复数根。

复数的共轭是什么?

a + bi 的共轭是 a − bi。一个数与其共轭相乘得到实数 a² + b²,即模的平方。共轭用于除法,也用于配对实系数多项式的复根。

为什么 0 的辐角没有定义?

零就是原点,它在所有方向上同时存在,因此没有单一的角能描述它。它的模为 0,而计算器会在极坐标形式或方根不可用时告诉您。