सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर

परिणाम

हल की प्रक्रिया

1. भाग के लिए, ऊपर और नीचे दोनों को भाजक के संयुग्मी से गुणा करें। इससे नीचे का मान वास्तविक संख्या बन जाता है।

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. नीचे का मान c² + d² बन जाता है, जो वास्तविक है।

   1² + (−2)² = 5

3. ऊपर का गुणा करके विस्तार करें।

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. वास्तविक और काल्पनिक भागों को नीचे के मान से भाग दें।

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

सम्मिश्र समतल

सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. चुनें कि आपको क्या चाहिए। अंकगणित दो संख्याओं, z₁ और z₂, पर काम करता है। ध्रुवीय रूप z₁ पर काम करता है। घात और मूल z₁ और 2 से 24 तक की एक पूर्ण संख्या n लेते हैं।
2. 2. संख्याएँ टाइप करें। 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i या यहाँ तक कि (1 + i)(2 − i) भी लिखें। काल्पनिक इकाई के लिए i प्रयोग करें, या यदि आप इंजीनियरिंग संकेतन के आदी हैं तो j। भिन्न और दशमलव सटीक रूप से पढ़े जाते हैं।
3. 3. परिणाम पढ़ें। योग, गुणनफल, भागफल और पूर्ण घातें सटीक भिन्नों के रूप में हैं। मापांक, कोणांक और मूल जहाँ संभव हो सटीक रूप में, और अन्यथा चार-दशमलव सन्निकटन के रूप में दिखाए जाते हैं।
4. 4. कार्य-प्रक्रिया और आरेख देखें। हर चरण लिखा गया है, और संख्याएँ सम्मिश्र समतल पर तीरों के रूप में बनी हैं।

आयताकार रूप में अंकगणित

गुणा सामान्य विस्तार है, एक अतिरिक्त तथ्य के साथ: i² = −1। (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i। भाग संयुग्मी का उपयोग करता है, क्योंकि (c + di)(c − di) = c² + d² एक वास्तविक संख्या है। (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) के लिए नीचे का मान 1² + (−2)² = 5 हो जाता है और ऊपर का मान (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, इसलिए भागफल (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i है।

मापांक, कोणांक और ध्रुवीय रूप

मापांक |z| = √(a² + b²) मूलबिंदु से दूरी है। कोणांक θ धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण है। यह कैलकुलेटर मुख्य मान देता है, −π < θ ≤ π के साथ, और चतुर्थांश के अनुसार समायोजित करता है: पहले और चौथे में arctan(b/a), दूसरे में उसमें 180° जोड़कर, और तीसरे में 180° घटाकर। z = 3 + 4i के लिए:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0.9273 rad = 53.1301°
ध्रुवीय रूप:        5(cos 53.1301° + i sin 53.1301°)
चरघातांकी रूप:     5 × e^(i × 0.9273)

किसी अक्ष या विकर्ण पर कोणांक π/4 का सरल गुणज होता है, और कैलकुलेटर उसे सटीक रूप में लिखता है: −1 + i का मापांक √2 और कोणांक 3π/4 है। शून्य का मापांक 0 है पर कोणांक नहीं, इसलिए उसका कोई ध्रुवीय रूप नहीं है।

घात और मूल: डी मोवर का प्रमेय

डी मोवर का प्रमेय कहता है कि (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): मापांक को घात तक उठाएँ और कोण को उससे गुणा करें। उदाहरण के लिए (1 + i)⁸ का मापांक (√2)⁸ = 16 और कोण 8 × 45° = 360° है, इसलिए यह ठीक 16 के बराबर है। कैलकुलेटर घात को सटीक रूप से गुणा करता है और उसके बगल में डी मोवर की गणना जाँच के रूप में दिखाता है।

हर अशून्य संख्या के ठीक n अलग-अलग n-वें मूल होते हैं। वे समान मापांक r^(1/n) साझा करते हैं और कोण (θ + 360°k)/n होते हैं, k = 0, 1, …, n − 1 के लिए, इसलिए वे मूलबिंदु पर केंद्रित एक नियमित बहुभुज के कोनों पर होते हैं। −8 के घनमूल, जिसका मापांक 8 और कोणांक π है, का मापांक 2 है और कोण π/3, π और 5π/3 हैं: 1 + 1.7321i, −2 और 1 − 1.7321i। 3 + 4i के वर्गमूल सटीक रूप से 2 + i और −2 − i हैं।

i की घातें

iⁿ निकालने के लिए n को 4 से भाग दें और शेषफल का उपयोग करें: i⁵⁷ = i¹ = i, क्योंकि 57 = 4 × 14 + 1।

सामान्य गलतियाँ

• गुणा में i² = −1 भूलना। bd वाला पद चिह्न बदलता है, इसलिए (ac − bd), (ac + bd) नहीं।
• संयुग्मी के बिना भाग। भाजक के संयुग्मी से ऊपर और नीचे दोनों को गुणा करना ही भाजक से i हटाता है।
• हर चतुर्थांश में arctan(b/a) लेना। कैलकुलेटर का arctan केवल −90° से 90° लौटाता है, इसलिए दूसरे और तीसरे चतुर्थांश की संख्याओं को ±180° चाहिए।
• केवल एक मूल बताना। z^(1/n) के n मान होते हैं; मुख्य मूल केवल k = 0 है।
• cos और sin के भीतर अंश और रेडियन मिलाना। 53.13° और 0.9273 रेडियन एक ही कोण हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सम्मिश्र संख्याओं का भाग कैसे करें?

अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी से गुणा करें। नया हर c² + d² है, एक वास्तविक संख्या, और आप नए अंश के वास्तविक और काल्पनिक भागों को उससे भाग देते हैं। (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) का उत्तर −1 + 2i है।

सम्मिश्र संख्या का मापांक और कोणांक क्या हैं?

मापांक लंबाई √(a² + b²) है, सम्मिश्र समतल पर मूलबिंदु से दूरी। कोणांक धनात्मक वास्तविक अक्ष से संख्या तक का कोण है, मुख्य मान के लिए −180° और 180° के बीच। साथ में वे ध्रुवीय रूप r(cos θ + i sin θ) देते हैं।

सम्मिश्र संख्या का चरघातांकी रूप क्या है?

ऑयलर के सूत्र से, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, इसलिए z = r(cos θ + i sin θ) को re^(iθ) लिखा जा सकता है, θ रेडियन में। 3 + 4i के लिए यह 5e^(0.9273i) है। इससे गुणा आसान होता है: मापांक गुणा करें और कोण जोड़ें।

डी मोवर का प्रमेय क्या है?

यह कहता है कि (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, और इसलिए zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)। यह घातों को मापांक और कोण के परिवर्तन में बदल देता है, और भिन्नात्मक घात के साथ n-वें मूल देता है।

सम्मिश्र संख्या के कितने n-वें मूल होते हैं?

ठीक n, यदि संख्या शून्य न हो। उनका मापांक समान होता है और कोण 360°/n के अंतर पर होते हैं, इसलिए वे एक नियमित n-भुजीय बहुभुज बनाते हैं। −8 जैसी वास्तविक संख्या के तीन घनमूल होते हैं: एक वास्तविक और दो सम्मिश्र।

सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी क्या है?

a + bi का संयुग्मी a − bi है। किसी संख्या को उसके संयुग्मी से गुणा करने पर वास्तविक संख्या a² + b² मिलती है, जो मापांक का वर्ग है। संयुग्मी भाग के लिए और वास्तविक बहुपदों के सम्मिश्र मूलों को जोड़ने के लिए उपयोग होते हैं।

0 का कोणांक अपरिभाषित क्यों है?

शून्य मूलबिंदु है, जो एक साथ हर दिशा में होता है, इसलिए कोई एक कोण उसका वर्णन नहीं करता। उसका मापांक 0 है, और कैलकुलेटर बताता है कि ध्रुवीय रूप या मूल उपलब्ध नहीं है।