Kalkulator FPB dan KPK
Masukkan dua bilangan bulat atau lebih untuk mendapatkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecilnya (KPK). Jawabannya dihitung dengan dua cara berdampingan — algoritma pembagian Euclid dan metode faktorisasi prima — sehingga Anda bisa mengikuti cara yang digunakan kelas Anda. Bilangan hingga 40 digit ditangani secara tepat.
Dua atau lebih, dipisahkan koma atau spasi. Tanda minus diabaikan: keduanya didefinisikan pada nilai mutlak.
Hasil
6
Faktor persekutuan terbesar (FPB)
180
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)
3
Bilangan yang dibandingkan
FPB dengan algoritma Euclid
Bagi bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil, lalu bagi pembagi terakhir dengan sisanya, sampai sisanya 0. Pembagi terakhir adalah FPB.
FPB(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
Sisanya mencapai 0, sehingga FPB(12, 18) = 6.
FPB(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
Sisanya mencapai 0, sehingga FPB(6, 30) = 6.
Dengan lebih dari dua bilangan, gabungkan satu per satu: FPB(FPB(12, 18), 30) = FPB(6, 30) = 6.
KPK dari FPB
Untuk dua bilangan, KPK(a, b) = a × b ÷ FPB(a, b). Dengan lebih banyak bilangan, gabungkan satu per satu.
KPK(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
KPK(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
Metode faktorisasi prima
Faktorkan setiap bilangan menjadi prima. FPB mengambil setiap prima yang dimiliki bersama pada pangkat terendahnya; KPK mengambil setiap prima yang muncul pada pangkat tertingginya.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| Prima | 12 | 18 | 30 | FPB (pangkat terendah) | KPK (pangkat tertinggi) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
FPB = 2 × 3 = 6
KPK = 2² × 3² × 5 = 180
Cara Menggunakan Kalkulator FPB dan KPK
- 1. Ketik bilangannya. Pisahkan dengan koma atau spasi: 12, 18, 30. Dua bilangan sudah cukup; hingga dua belas diterima. Jangan gunakan pemisah ribuan, karena koma di sini memulai bilangan baru.
- 2. Baca kedua jawabannya. FPB dan KPK muncul di bagian atas, dengan catatan bila FPB bernilai 1 dan bilangan-bilangannya saling prima (coprime).
- 3. Ikuti metode yang diajarkan kepada Anda. Algoritma Euclid mendaftar setiap pembagian; tabel faktorisasi prima menunjukkan pangkat setiap prima pada setiap bilangan dan pangkat mana yang dipakai FPB serta KPK.
- 4. Salin hasilnya. Tombol salin memberi ringkasan satu baris seperti FPB(12, 18, 30) = 6; KPK(12, 18, 30) = 180.
Dua Cara Mencari FPB dan KPK
Algoritma Euclid
Algoritma Euclid, dari Buku VII karyanya Elements (sekitar 300 SM), berpijak pada satu fakta: FPB dua bilangan juga membagi sisanya. Jadi, bagi bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil, ganti bilangan yang lebih besar dengan sisanya, lalu ulangi. Ketika sisanya mencapai 0, pembagi terakhir adalah FPB. Untuk 48 dan 180:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → FPB(48, 180) = 12
Metode ini cepat berapa pun ukuran bilangannya: jumlah pembagiannya tidak pernah lebih dari lima kali jumlah digit bilangan yang lebih kecil. Itulah sebabnya metode ini digunakan komputer, dan mengapa kalkulator ini dapat bekerja dengan bilangan 40 digit secara instan.
Faktorisasi prima
Tulis setiap bilangan sebagai hasil kali bilangan prima. FPB adalah hasil kali prima yang dimiliki bersama oleh bilangan-bilangan itu, masing-masing pada pangkat terendah; KPK adalah hasil kali setiap prima yang muncul, masing-masing pada pangkat tertinggi. Dengan 48 = 2⁴ × 3 dan 180 = 2² × 3² × 5, FPB-nya adalah 2² × 3 = 12 dan KPK-nya adalah 2⁴ × 3² × 5 = 720. Metode ini memperlihatkan struktur bilangan, tetapi bergantung pada pemfaktoran, yang menjadi lambat untuk bilangan yang sangat besar.
Untuk dua bilangan ada juga jalan pintas yang menghubungkan kedua jawaban: KPK(a, b) = a × b ÷ FPB(a, b). Untuk 48 dan 180, itu adalah 8640 ÷ 12 = 720. Kalkulator menggunakannya untuk membangun KPK dari FPB.
Contoh Kasus: 12, 18 dan 30
- FPB pasangan pertama. 18 = 1 × 12 + 6, lalu 12 = 2 × 6 + 0, sehingga FPB(12, 18) = 6.
- Gabungkan bilangan ketiga. 30 = 5 × 6 + 0, sehingga FPB(FPB(12, 18), 30) = FPB(6, 30) = 6.
- KPK, satu pasangan sekali waktu. KPK(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, lalu KPK(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- Periksa dengan prima. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² dan 30 = 2 × 3 × 5. Prima yang dimiliki bersama pada pangkat terendah memberi 2 × 3 = 6; semua prima pada pangkat tertinggi memberi 2² × 3² × 5 = 180.
Kapan Anda Membutuhkan FPB atau KPK
| Masalah | Gunakan | Contoh |
|---|---|---|
| Menyederhanakan pecahan | FPB | 18/30: bagi keduanya dengan FPB 6 untuk mendapatkan 3/5. |
| Menjumlahkan pecahan | KPK | 1/12 + 1/18: penyebut persekutuan terkecilnya adalah 36. |
| Membagi ke dalam kelompok yang sama | FPB | 12 pulpen dan 18 pensil membentuk paling banyak 6 paket yang identik. |
| Menyelaraskan siklus yang berulang | KPK | Bus setiap 12 dan 18 menit bertemu lagi setelah 36 menit. |
| Memfaktorkan ekspresi | FPB | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Apa perbedaan antara FPB dan KPK?
- Faktor persekutuan terbesar adalah bilangan terbesar yang membagi habis setiap bilangan dalam daftar, sehingga tidak pernah lebih besar daripada yang terkecil di antaranya. Kelipatan persekutuan terkecil adalah bilangan terkecil yang habis dibagi oleh setiap bilangan dalam daftar, sehingga tidak pernah lebih kecil daripada yang terbesar. Untuk 12 dan 18, FPB-nya 6 dan KPK-nya 36.
- Apakah FPB, GCD, dan HCF itu sama?
- Ya. Faktor persekutuan terbesar (FPB, atau GCF), pembagi persekutuan terbesar (GCD), dan faktor persekutuan tertinggi (HCF, istilah yang umum di Inggris) adalah tiga nama untuk bilangan yang sama. KPK kadang disebut kelipatan persekutuan terendah (lowest common multiple).
- Berapa FPB dari dua bilangan prima?
- Hasilnya 1, karena faktor sebuah bilangan prima hanya 1 dan dirinya sendiri. Dua bilangan yang FPB-nya 1 disebut saling prima (coprime), dan KPK-nya adalah hasil kalinya: KPK(7, 11) = 77. Bilangan bisa saling prima tanpa keduanya prima, seperti 8 dan 15.
- Bagaimana cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih?
- Kerjakan satu pasangan sekali waktu: cari KPK dari dua bilangan pertama, lalu KPK dari hasil itu dan bilangan ketiga, dan seterusnya. Atau faktorkan setiap bilangan menjadi prima dan kalikan setiap prima pada pangkat tertinggi yang dicapainya di antara semua bilangan.
- Mengapa saya tidak bisa memasukkan 0?
- Setiap bilangan bulat membagi 0, sehingga FPB(0, n) hanyalah n, dan KPK(0, n) adalah 0 menurut konvensi — keduanya tidak memerlukan perhitungan, dan 0 tidak memiliki faktorisasi prima untuk ditunjukkan. Hapus angka 0 dan kalkulator membandingkan bilangan yang tersisa.
- Apakah FPB × KPK selalu sama dengan hasil kali bilangan-bilangannya?
- Hanya untuk dua bilangan: FPB(a, b) × KPK(a, b) = a × b. Dengan tiga bilangan atau lebih rumus ini tidak berlaku — untuk 2, 4 dan 8, FPB-nya 2 dan KPK-nya 8, sehingga hasil kalinya 16, bukan 64.