Kalkulator Barisan Geometrik
Masukkan suku pertama dan rasio persekutuan untuk mendapatkan suku mana pun dari barisan geometrik, jumlah n suku pertama, dan — ketika rasionya berada di antara −1 dan 1 — jumlah seluruh deret tak hingga. Atau berikan dua suku yang Anda ketahui, dan kalkulator menghitung mundur ke a₁ dan r. Jawabannya berupa pecahan yang tepat, dan setiap rumus ditampilkan dengan angka Anda disubstitusikan. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Kalikan dengan nilai ini setiap kali. Negatif membuat tanda bergantian.
Bilangan bulat dari 1 hingga 2000.
Hasil
1536
Suku a₁₀
3069
Jumlah S₁₀ dari 10 suku pertama
Tidak ada jumlah berhingga
Jumlah seluruh suku, S∞
2
Rasio persekutuan
3
Suku pertama
|r| lebih besar dari 1, sehingga suku-suku tumbuh tanpa batas.
Rumus umum
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Perhitungan
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
Deret tak hingga konvergen hanya jika |r| < 1. Dengan |r| 1 atau lebih, suku-suku tidak menyusut, sehingga jumlahnya tidak memiliki nilai berhingga.
Barisan
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Cara Menggunakan Kalkulator Barisan Geometrik
- 1. Pilih apa yang Anda ketahui. Suku pertama dan rasio persekutuan adalah kasus yang lazim. Dua suku dari barisan menangani soal seperti 'suku ke-2 adalah 6 dan suku ke-5 adalah 162'. Cari di mana suatu nilai berada memberi tahu Anda suku mana yang sama dengan suatu angka.
- 2. Masukkan nilainya. Bilangan bulat, desimal, dan pecahan seperti 1/2 semuanya dapat dipakai. Rasionya boleh negatif atau pecahan. Nomor suku berkisar dari 1 hingga 2000.
- 3. Baca kartunya. Anda mendapatkan suku aₙ, jumlah Sₙ, jumlah hingga tak terbatas — atau Tidak ada jumlah berhingga ketika |r| ≥ 1 — rasio, dan suku pertama. Nilai dengan lebih dari 40 digit ditampilkan dalam notasi ilmiah.
- 4. Ikuti perhitungannya. Rumusnya ditulis lengkap dengan angka Anda, diikuti beberapa suku pertama.
Rumus-Rumusnya
Barisan geometrik dikalikan dengan rasio persekutuan r yang sama untuk berpindah dari setiap suku ke suku berikutnya: a₁, a₁r, a₁r², …. Jadi suku ke-n dan jumlah n suku pertama adalah:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (hanya saat |r| < 1)
Rumus jumlah berasal dari pengurangan r·Sₙ dari Sₙ: hampir setiap suku saling menghapus, menyisakan Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Ketika |r| < 1, rⁿ menyusut menuju 0 saat n bertambah, sehingga jumlah parsial menetap di a₁ ÷ (1 − r). Ketika |r| ≥ 1 jumlahnya tidak menetap, dan deret tak hingga tidak memiliki jumlah berhingga.
Contoh Kasus
- Suku dan jumlah. Untuk 3, 6, 12, … a₁ = 3 dan r = 2. Suku ke-10 adalah 3 × 2⁹ = 1536 dan jumlah 10 suku pertama adalah 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- Dari dua suku. Jika a₂ = 6 dan a₅ = 162, maka r³ = 162 ÷ 6 = 27, sehingga r = 3. Lalu a₁ = 6 ÷ 3 = 2, dan barisannya adalah 2, 6, 18, 54, 162, …. Ketika kedua suku berjarak jumlah langkah genap, misalnya r² = 4, ada dua jawaban riil (2 dan −2), dan kalkulator menampilkan keduanya.
- Jumlah tak hingga. Untuk 8, −8/3, 8/9, … a₁ = 8 dan r = −1/3, sehingga S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. Rumus yang sama menunjukkan mengapa 0,999… = 1: yaitu 0,9 + 0,09 + 0,009 + … dengan a₁ = 0,9 dan r = 0,1, sehingga S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- Papan catur. Satu butir di kotak pertama, digandakan pada setiap dari 64 kotak: a₁ = 1, r = 2, n = 64, sehingga S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18446744073709551615 butir.
| Rasio r | Yang dilakukan barisan | Jumlah tak hingga |
|---|---|---|
| r > 1 | Tumbuh tanpa batas | Tidak ada |
| r = 1 | Konstan | Tidak ada (kecuali a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Menyusut menuju 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Bergantian tanda dan menyusut | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Bergantian antara a₁ dan −a₁ | Tidak ada |
| r < −1 | Bergantian dan tumbuh | Tidak ada |
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Apa rumus untuk suku ke-n barisan geometrik?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), dengan a₁ adalah suku pertama dan r adalah rasio persekutuan. Untuk 5, 10, 20, … hasilnya aₙ = 5 · 2^(n − 1), sehingga suku ke-8 adalah 5 × 128 = 640.
- Bagaimana cara menemukan rasio persekutuan?
- Bagi suku mana pun dengan suku sebelumnya. Pada 4, 12, 36, 108 setiap pembagian menghasilkan 3. Jika Anda hanya mengetahui dua suku yang tidak bertetangga, ambil akar ke-k dari hasil baginya, dengan k adalah jumlah langkah di antaranya: dengan a₂ = 6 dan a₅ = 162, r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Kapan deret geometrik tak hingga memiliki jumlah?
- Tepat ketika |r| < 1 — rasio berada di antara −1 dan 1, tidak termasuk keduanya. Maka S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Untuk 1 + 1/2 + 1/4 + … hasilnya 1 ÷ (1/2) = 2. Jika |r| ≥ 1, suku-suku tidak menyusut dan jumlahnya tidak memiliki nilai berhingga.
- Apa perbedaan antara barisan aritmetik dan geometrik?
- Barisan aritmetik menambahkan konstanta (2, 5, 8, 11); barisan geometrik dikalikan dengan konstanta (2, 6, 18, 54). Selisihnya konstan pada yang pertama; rasionya konstan pada yang kedua. Number Sequence Solver menguji keduanya untuk Anda.
- Apakah rasio persekutuan boleh negatif atau pecahan?
- Boleh. Rasio negatif membuat tandanya bergantian (3, −6, 12, −24) dan pecahan di antara −1 dan 1 membuat suku-sukunya menyusut (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Rasio 0 diperbolehkan di sini, tetapi setiap suku setelah suku pertama kemudian bernilai 0.
- Apa yang diberikan rumus jumlah ketika r = 1?
- Rumus a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) akan membagi dengan nol, sehingga gunakan Sₙ = n · a₁ sebagai gantinya: setiap suku sama dengan a₁, dan jumlahnya ada n. Kalkulator beralih ke bentuk ini secara otomatis.
- Di mana barisan geometrik muncul dalam kehidupan nyata?
- Bunga majemuk bersifat geometrik: 1000 dengan bunga 5% per tahun bernilai 1000 · 1,05ⁿ setelah n tahun. Pertumbuhan populasi, penyusutan nilai aset, peluruhan radioaktif, dan tinggi pantulan bola semuanya mengikuti pola yang sama dengan rasio di atas atau di bawah 1.