Rechner für geometrische Folgen
Geben Sie das erste Glied und das gemeinsame Verhältnis ein, und Sie erhalten jedes Glied einer geometrischen Folge, die Summe der ersten n Glieder und – wenn das Verhältnis zwischen −1 und 1 liegt – die Summe der gesamten unendlichen Reihe. Oder geben Sie zwei Glieder an, die Sie kennen, und der Rechner ermittelt daraus a₁ und r. Die Ergebnisse sind exakte Brüche, und jede Formel wird mit Ihren Zahlen gezeigt. Kostenlos, ohne Anmeldung.
Mit diesem Wert wird jedes Mal multipliziert. Ein negativer Wert lässt die Vorzeichen abwechseln.
Eine ganze Zahl von 1 bis 2000.
Ergebnisse
1536
Glied a₁₀
3069
Summe S₁₀ der ersten 10 Glieder
Keine endliche Summe
Summe aller Glieder, S∞
2
Gemeinsames Verhältnis
3
Erstes Glied
|r| ist größer als 1, daher wachsen die Glieder ohne Grenze.
Allgemeine Formel
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Rechenweg
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
Die unendliche Reihe konvergiert nur, wenn |r| < 1 ist. Bei |r| von 1 oder mehr schrumpfen die Glieder nicht, daher hat die Summe keinen endlichen Wert.
Die Folge
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
So verwenden Sie den Rechner für geometrische Folgen
- 1. Wählen Sie, was Sie wissen. Erstes Glied und Verhältnis ist der übliche Fall. Zwei Glieder der Folge behandelt Fragen wie „das 2. Glied ist 6 und das 5. ist 162“. Position eines Wertes finden zeigt, welches Glied einer Zahl entspricht.
- 2. Geben Sie die Werte ein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2 funktionieren alle. Das Verhältnis kann negativ oder ein Bruch sein. Gliednummern reichen von 1 bis 2000.
- 3. Lesen Sie die Karten. Sie erhalten das Glied aₙ, die Summe Sₙ, die Summe bis ins Unendliche – oder Keine endliche Summe, wenn |r| ≥ 1 ist – sowie das Verhältnis und das erste Glied. Werte mit mehr als 40 Stellen werden in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt.
- 4. Folgen Sie dem Rechenweg. Die Formeln werden mit Ihren Zahlen ausgeschrieben, gefolgt von den ersten Gliedern.
Die Formeln
Eine geometrische Folge wird mit demselben gemeinsamen Verhältnis r multipliziert, um vom einen Glied zum nächsten zu gelangen: a₁, a₁r, a₁r², …. Daher lauten das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (nur wenn |r| < 1)
Die Summenformel entsteht, indem man r·Sₙ von Sₙ abzieht: Fast alle Glieder heben sich auf, übrig bleibt Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Bei |r| < 1 schrumpft rⁿ mit wachsendem n gegen 0, daher nähern sich die Teilsummen a₁ ÷ (1 − r) an. Bei |r| ≥ 1 konvergieren sie nicht, und die unendliche Reihe hat keine endliche Summe.
Durchgerechnete Beispiele
- Glied und Summe. Für 3, 6, 12, … ist a₁ = 3 und r = 2. Das 10. Glied ist 3 × 2⁹ = 1536, und die Summe der ersten 10 ist 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- Aus zwei Gliedern. Wenn a₂ = 6 und a₅ = 162 ist, dann ist r³ = 162 ÷ 6 = 27, also r = 3. Dann ist a₁ = 6 ÷ 3 = 2, und die Folge lautet 2, 6, 18, 54, 162, …. Liegen die beiden Glieder eine gerade Anzahl von Schritten auseinander – etwa bei r² = 4 –, gibt es zwei reelle Antworten (2 und −2), und der Rechner zeigt beide.
- Unendliche Summe. Für 8, −8/3, 8/9, … ist a₁ = 8 und r = −1/3, also S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. Dieselbe Formel zeigt, warum 0,999… = 1 ist: Es ist 0,9 + 0,09 + 0,009 + … mit a₁ = 0,9 und r = 0,1, also S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- Das Schachbrett. Ein Korn auf dem ersten Feld, Verdopplung auf jedem der 64 Felder: a₁ = 1, r = 2, n = 64, also S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 Körner.
| Verhältnis r | Was die Folge tut | Unendliche Summe |
|---|---|---|
| r > 1 | Wächst ohne Grenze | Keine |
| r = 1 | Konstant | Keine (außer a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Schrumpft gegen 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Wechselt das Vorzeichen und schrumpft | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Wechselt zwischen a₁ und −a₁ | Keine |
| r < −1 | Wechselt und wächst | Keine |
Häufig gestellte Fragen
- Wie lautet die Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), wobei a₁ das erste Glied und r das gemeinsame Verhältnis ist. Für 5, 10, 20, … ergibt sich aₙ = 5 · 2^(n − 1), also ist das 8. Glied 5 × 128 = 640.
- Wie findet man das gemeinsame Verhältnis?
- Teilen Sie ein beliebiges Glied durch das davorstehende. Bei 4, 12, 36, 108 ergibt jede Division 3. Wenn Sie nur zwei Glieder kennen, die nicht benachbart sind, ziehen Sie die k-te Wurzel aus ihrem Quotienten, wobei k die Anzahl der Schritte zwischen ihnen ist: Mit a₂ = 6 und a₅ = 162 ist r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Wann hat eine unendliche geometrische Reihe eine Summe?
- Genau dann, wenn |r| < 1 ist – das Verhältnis liegt zwischen −1 und 1, die Grenzen nicht eingeschlossen. Dann gilt S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Für 1 + 1/2 + 1/4 + … ergibt das 1 ÷ (1/2) = 2. Ist |r| ≥ 1, schrumpfen die Glieder nicht, und die Summe hat keinen endlichen Wert.
- Was ist der Unterschied zwischen arithmetischen und geometrischen Folgen?
- Eine arithmetische Folge addiert eine Konstante (2, 5, 8, 11); eine geometrische multipliziert mit einer Konstanten (2, 6, 18, 54). Bei der ersten sind die Differenzen konstant, bei der zweiten die Quotienten. Der Number Sequence Solver prüft beides für Sie.
- Kann das gemeinsame Verhältnis negativ oder ein Bruch sein?
- Ja. Ein negatives Verhältnis lässt die Vorzeichen abwechseln (3, −6, 12, −24), und ein Bruch zwischen −1 und 1 lässt die Glieder schrumpfen (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Ein Verhältnis von 0 ist hier zulässig, doch dann ist jedes Glied nach dem ersten 0.
- Was liefert die Summenformel für r = 1?
- Die Formel a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) würde durch null teilen, daher verwenden Sie stattdessen Sₙ = n · a₁: Jedes Glied ist gleich a₁, und es gibt n davon. Der Rechner wechselt automatisch in diese Form.
- Wo kommen geometrische Folgen im Alltag vor?
- Zinseszins ist geometrisch: 1000 bei 5 % pro Jahr sind nach n Jahren 1000 · 1,05ⁿ wert. Bevölkerungswachstum, Abschreibung, radioaktiver Zerfall und die Sprunghöhen eines Balls folgen demselben Muster mit einem Verhältnis über oder unter 1.