حاسبة المضروب

النتائج

خطوات الحساب

• 20! = 20 × 19 × … × 2 × 1 = 20 × 19!، أي أن كل مضروب هو المضروب السابق له مضروبًا في 20.
• كل صفر متتالٍ في النهاية يأتي من عامل 10 = 2 × 5، والخمسات أقل وفرة من الاثنينات. عدّها: ⌊20/5⌋ + ⌊20/25⌋ + … = 4.
• المضروب المزدوج يضرب كل عدد ثانٍ: 20!! = 20 × 18 × 16 × 14 × 12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3,715,891,200.
• صيغة ستيرلينغ √(2πn) (n/e)ⁿ تعطي تقريبًا 2.4227868 × 10^18، وهو أقل بمقدار 0.416% من القيمة الدقيقة.

كيفية استخدام حاسبة المضروب

1. 1. أدخل n. أي عدد صحيح من 0 إلى 10,000. تتحدّث النتيجة أثناء الكتابة.
2. 2. اقرأ القيمة الدقيقة. تظهر المضروبات الصغيرة مع تجميع الأرقام. أما الكبيرة منها فتظهر بعنوان بالترميز العلمي، وكل أرقامها في مربع قابل للتمرير مع زر نسخ.
3. 3. تحقّق من النتائج الإضافية. تحصل أيضًا على عدد الأرقام، والأصفار المتتالية في النهاية، والمضروب المزدوج n!!، وتقريب ستيرلينغ مع مقدار انخفاضه عن n!.
4. 4. جرّب عددًا عشريًا. بالنسبة إلى قيمة مثل 4.5 تعيد الحاسبة Γ(5.5) = 4.5!، لأن دالة غاما تمدّ المضروب إلى كل عدد ما عدا الأعداد الصحيحة السالبة.

ما هو المضروب

مضروب العدد الصحيح غير السالب n، ويُكتب n!، هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من 1 حتى n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. وهو يعدّ طرق ترتيب n شيئًا مختلفًا في صف واحد، فيمكن رصّ ثلاثة كتب في 3! = 6 ترتيبات مختلفة، وهو اللبنة الأساسية للتباديل والتوافيق ومبرهنة ذات الحدين. كل مضروب هو السابق له مضروبًا في n: n! = n × (n − 1)!.

لماذا يساوي 0! العدد 1؟ باتباع القاعدة n! = n × (n − 1)! حتى n = 1 نحصل على 1! = 1 × 0!، وهذا لا يصحّ إلا إذا كان 0! = 1. وهي تتفق أيضًا مع معنى العدّ (توجد طريقة واحدة فقط لترتيب لا شيء)، ومع أن الجداء الفارغ يساوي 1 بالاتفاق.

الأصفار المتتالية: صيغة ليجندر

يأتي الصفر في نهاية n! من عامل 10 = 2 × 5. وعوامل 2 دائمًا أكثر من عوامل 5، لذا يساوي عدد الأصفار المتتالية عدد الخمسات في 1 × 2 × … × n. عُدّ مضاعفات 5، ثم أضف مضاعفات 25 (كل منها يخفي خمسة ثانية)، ثم مضاعفات 125، وهكذا: الأصفار = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …. بالنسبة إلى 100! يكون العدد 20 + 4 = 24 صفرًا متتاليًا. ويبلغ عدد أرقام 100! كلها 158 رقمًا.

تقريب ستيرلينغ

بالنسبة إلى قيم n الكبيرة يُقرَّب n! بالعبارة √(2πn) (n/e)ⁿ. وهو دائمًا أقل قليلًا من القيمة الحقيقية، بنسبة تقارب 1/(12n): بنسبة 0.83% عند n = 10 (3.5986956 × 10⁶ مقابل 3,628,800)، وبنسبة 0.083% عند n = 100 (9.3248476 × 10¹⁵⁷ مقابل 9.3326215 × 10¹⁵⁷). ويؤدي ضرب القيمة في (1 + 1/(12n)) إلى إزالة معظم الخطأ. وهذا التقريب هو ما يتيح تقدير حجم المضروبات الضخمة من اللوغاريتمات وحدها.

المضروب المزدوج ودالة غاما

المضروب المزدوج n!! يضرب كل عدد ثانٍ انطلاقًا من n نزولًا: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945، و8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. وهو ليس (n!)!. وبالاتفاق 0!! = 1، و n!! × (n − 1)!! = n!. ودالة غاما Γ(x) تعمّم المضروب: Γ(n + 1) = n! للأعداد الصحيحة n، وهي معرّفة للأعداد العشرية أيضًا، مثل (½)! = Γ(1½) = √π / 2 ≈ 0.8862. ليس لها قيمة عند الصفر أو الأعداد الصحيحة السالبة، لذا فإن (−1)! و(−2)! غير موجودين.

الأسئلة الشائعة

لماذا يساوي 0! العدد 1؟

لأن قاعدة المضروب n! = n × (n − 1)! يجب أن تصحّ عند n = 1، وهذا يعطي 1 = 1 × 0!. وهو يتفق أيضًا مع معنى العدّ: توجد طريقة واحدة فقط لترتيب صفر أشياء، والجداء الفارغ لأي أعداد يساوي 1.

كم صفرًا متتاليًا ينتهي به 100!؟

24. عدّ عوامل 5: ⌊100/5⌋ = 20 مضاعفًا لـ 5 مع ⌊100/25⌋ = 4 مضاعفات لـ 25 يعطي 24، وتوجد عوامل 2 وفيرة لتقترن بها.

هل يمكن حساب مضروب عدد سالب أو عشري؟

لا بالنسبة إلى الأعداد الصحيحة السالبة، لأن دالة غاما لها أقطاب هناك. أما الأعداد العشرية والسالبة غير الصحيحة فتعمل من خلال Γ(n + 1): 4.5! ≈ 52.34 و(−0.5)! = √π ≈ 1.7725.

ما هو المضروب المزدوج؟

n!! هو حاصل ضرب الأعداد من n نزولًا حتى 1 أو 2 بخطوات من اثنين، فـ 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105 و10!! = 10 × 8 × 6 × 4 × 2 = 3,840. وهو يختلف عن (n!)!، الذي سيكون عددًا هائلًا.

بكم طريقة يمكن ترتيب 52 ورقة لعب؟

52! = 8.0658175… × 10⁶⁷، وهو عدد من 68 رقمًا. أي مجموعة أوراق خُلطت جيدًا هي، عمليًا، ترتيب لم يره أحد من قبل.

ما مدى دقة تقريب ستيرلينغ؟

خطؤه النسبي يقارب 1/(12n)، لذا فهو أقل بنسبة 0.83% عند n = 10، وأقل بنسبة 0.083% عند n = 100. وتعرض الحاسبة الخطأ الدقيق لقيمة n التي تدخلها، والخطأ بعد إضافة تصحيح 1/(12n).