حاسبة الأُسس

النتائج

العمل

• اكتب الأُس 10 في النظام الثنائي: 1010. أي أن 10 = 2 + 8.
• ربّع الأساس تكرارًا: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• اضرب القوى المناظرة للأرقام الثنائية: 2² × 2⁸ = 1024.

قوانين الأُسس على أعدادك

مع أساسك والأُسين الصحيحين، يتساوى طرفا كل قانون.

كيفية استخدام حاسبة الأُسس

1. 1. أدخل الأساس. عددًا صحيحًا أو عشريًا أو كسرًا مثل 2 أو −1.5 أو 3/4. ولرفع عدد سالب إلى قوة، ضع إشارة السالب في الأساس: إدخال −2 يحسب (−2)ⁿ.
2. 2. أدخل الأُس. تعمل الأُسس الصحيحة (10) والسالبة (−3) والعشرية (0.5) والكسرية (2/3). وتُقرأ الأعداد العشرية كأن كلًا منها كسر دقيق، فالعدد 0.5 هو 1/2.
3. 3. اقرأ النتيجة. تظهر قوى الأعداد الصحيحة كاملة مع عدد أرقامها، وتُكتب القيم الكبيرة بالترميز العلمي. وتعطي الأُسس السالبة كسرًا وعشرية، وتعطي الجذور جوابًا دقيقًا إن وُجد، وإلا فعشرية بالمنازل التي تختارها.
4. 4. تابع العمل والقوانين. توضح الخطوات أدناه كيف تُبنى القوة، ويفحص جدول القوانين قانون الضرب وقانون القسمة وقوة القوة على أساسك.

ما معنى الأُس

لعدد صحيح n ≥ 1، تعني bⁿ أن تضرب b في نفسها n مرة: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. وتُعرَّف كل الأنواع الأخرى من الأُسس بحيث تستمر القواعد نفسها في العمل. الأُس الصفري يعطي 1 (من أجل b ≠ 0) لأن b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. والأُس السالب مقلوب: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ، فـ 2⁻³ = 1/8 = 0.125. والأُس الكسري جذر وقوة: b^(p/q) هو الجذر من الدرجة q للعدد b مرفوعًا إلى القوة p، فـ 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

مثال تطبيقي: 2¹³ بالتربيع المتكرر

للأُسس الصحيحة الكبيرة تُظهر الحاسبة كيف تُبنى القوة بعدد قليل من عمليات الضرب، كما يفعل الحاسوب أو الإنسان الصبور. اكتب الأُس بالنظام الثنائي، وربّع الأساس تكرارًا، ثم اضرب القوى المناظرة للأرقام 1 فيه.

• 13 في النظام الثنائي هو 1101، أي 13 = 1 + 4 + 8.
• التربيع المتكرر: 2¹ = 2، و2² = 4، و2⁴ = 16، و2⁸ = 256.
• اضرب القوى المناظرة: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
• ثلاث عمليات تربيع وعمليتا ضرب تحلان محل اثنتي عشرة عملية ضرب واحدة تلو الأخرى.

النتائج الكبيرة جدًا

تُحسب قوى الأعداد الصحيحة بحساب الأعداد الصحيحة الكبيرة الدقيق، فلا يوجد تقريب مهما كان الحجم: 2¹⁰⁰ هو 1267650600228229401496703205376 حتى آخر رقم، وهو ما لا تستطيع الحسابات العشرية العائمة إلا تقريبه بـ 1.2676506002282294 × 10³⁰. وتُكتب النتائج التي تصل إلى 20,000 رقم كاملةً؛ وما زاد على ذلك تعطي الحاسبة تقديرًا لرتبة الحجم من اللوغاريتمات (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9.99002093 × 10³⁰¹⁰²) وتذكر ذلك صراحةً.

أعراف يجب معرفتها

• 0⁰ = 1. هذا هو العرف في التوافيق ومتسلسلات القوى ومعظم البرمجيات؛ وتتركه بعض كتب التحليل غير معرَّف، وتنبّه الحاسبة إلى هذه الحالة.
• الصفر مرفوعًا إلى أُس سالب غير معرَّف، لأن ذلك يعني القسمة على صفر.
• الأساس السالب مع الأُس الكسري. يُختصر الأُس إلى أبسط صورة أولًا. فإذا كان المقام فرديًا استُخدم الجذر الحقيقي، فيكون (−8)^(1/3) = −2، و(−8)^(2/3) = 4. وإذا كان زوجيًا فلا توجد إجابة حقيقية: فـ (−4)^(1/2) هو العدد المركّب 2i.
• −2² و(−2)² مختلفان. إذا كُتب تعبيرًا، فإن −2² يعني −(2²) = −4. أما هنا فالأساس عدد، فإدخال −2 مع الأُس 2 يعطي 4.

الأسئلة الشائعة

ما هو الأُس السالب؟

الأُس السالب يعني مقلوبًا، لا نتيجة سالبة. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0.04. وإشارة الجواب تعتمد على الأساس وحده، فـ (−2)⁻³ = −1/8.

ماذا يعني الأُس الكسري؟

مقام الكسر هو الجذر، وبسطه هو القوة. فـ 27^(2/3) هو الجذر التكعيبي للعدد 27 وهو 3، مرفوعًا إلى القوة 2، فيكون الناتج 9. والأُس 1/2 يعني الجذر التربيعي، فـ 9^0.5 = 3.

لماذا يساوي أي عدد مرفوع إلى الصفر 1؟

لأن قانون القسمة يقتضي ذلك: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰، والعدد غير الصفري مقسومًا على نفسه يساوي 1. أما الحالة 0⁰ فعرف منفصل، ويؤخذ عادةً بوصفه 1.

هل 2³² هو نفسه (2³)²؟

لا. الأُس المتراكب يُحسب من الأعلى إلى الأسفل، فـ 2^(3²) = 2⁹ = 512، بينما (2³)² = 8² = 64. فإن أردت الأول أدخل 9 أُسًا، وإن أردت الثاني أدخل 6.

هل (a + b)² تساوي a² + b²؟

لا. (a + b)² = a² + 2ab + b². تنطبق قوانين الأُسس على الحواصل، مثل (ab)²، لا على المجاميع. فإذا كان a = 3 و b = 4 فإن (3 + 4)² = 49، بينما 3² + 4² = 25.

كيف أجد القيمة الدقيقة لقوة كبيرة جدًا؟

استخدم حساب الأعداد الصحيحة الكبيرة بدلًا من حاسبة العمليات العشرية العائمة. تفعل هذه الأداة ذلك للأُسس الصحيحة، وتعرض كل الأرقام حتى نتيجة من 20,000 رقم.