Calcolatore di Esponenti

Risultati

Il procedimento

• Scrivi l'esponente 10 in binario: 1010. Significa 10 = 2 + 8.
• Eleva al quadrato ripetutamente: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Moltiplica le potenze che corrispondono alle cifre binarie: 2² × 2⁸ = 1024.

Le leggi degli esponenti sui tuoi numeri

Con la tua base e i due esponenti interi, entrambi i lati di ogni legge risultano uguali.

Come usare il calcolatore di esponenti

1. 1. Inserisci la base. Un numero intero, un decimale o una frazione: 2, −1,5 o 3/4. Per elevare un numero negativo a una potenza, metti il segno meno nella base: inserendo −2 calcola (−2)ⁿ.
2. 2. Inserisci l'esponente. Funzionano numeri interi (10), negativi (−3), decimali (0,5) e frazioni (2/3). I decimali sono letti come frazioni esatte, quindi 0,5 è 1/2.
3. 3. Leggi il risultato. Le potenze a esponente intero compaiono per intero, con il numero di cifre e, per i valori grandi, la notazione scientifica. Gli esponenti negativi danno una frazione e un decimale; le radici danno una risposta esatta quando esiste, altrimenti un decimale con le cifre che scegli.
4. 4. Segui il procedimento e le leggi. I passaggi sotto mostrano come si costruisce la potenza, e la tabella delle leggi verifica le regole del prodotto, del quoziente e della potenza sulla tua base.

Che cosa significa un esponente

Per un numero intero n ≥ 1, bⁿ significa b moltiplicato per sé stesso n volte: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Ogni altro tipo di esponente è definito in modo che le stesse regole continuino a funzionare. Un esponente zero dà 1 (per b ≠ 0), perché b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Un esponente negativo è un reciproco: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, quindi 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Un esponente frazionario è una radice e una potenza: b^(p/q) è la radice q-esima di b elevata alla potenza p, quindi 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Esempio svolto: 2¹³ con elevamenti al quadrato ripetuti

Per esponenti interi più grandi il calcolatore mostra come un computer, o una persona paziente, costruisce la potenza con poche moltiplicazioni. Scrivi l'esponente in binario, eleva la base al quadrato più volte e moltiplica i quadrati che corrispondono alle cifre 1.

• 13 in binario è 1101, quindi 13 = 1 + 4 + 8.
• Elevamenti al quadrato ripetuti: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Moltiplica le potenze corrispondenti: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
• Tre elevamenti al quadrato e due moltiplicazioni sostituiscono dodici moltiplicazioni fatte una alla volta.

Risultati molto grandi

Le potenze a esponente intero sono calcolate con aritmetica esatta sui grandi interi, quindi non c'è arrotondamento a nessuna grandezza: 2¹⁰⁰ è 1267650600228229401496703205376 fino all'ultima cifra, che l'aritmetica in virgola mobile può solo approssimare come 1,2676506002282294 × 10³⁰. I risultati con fino a 20.000 cifre sono scritti per intero; oltre, il calcolatore dà una stima dell'ordine di grandezza con i logaritmi (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) e lo dichiara.

Convenzioni da conoscere

• 0⁰ = 1. È la convenzione del calcolo combinatorio, delle serie di potenze e della maggior parte dei software; alcuni testi di analisi lo lasciano indefinito, e il calcolatore segnala questo caso.
• Zero elevato a un esponente negativo non è definito, perché significherebbe dividere per zero.
• Basi negative con esponenti frazionari. L'esponente viene prima ridotto ai minimi termini. Se il suo denominatore è dispari si usa la radice reale, quindi (−8)^(1/3) = −2 e (−8)^(2/3) = 4. Se è pari non esiste una risposta reale: (−4)^(1/2) è il numero complesso 2i.
• −2² e (−2)² sono diversi. Scritto come espressione, −2² significa −(2²) = −4. Qui la base è un numero: inserendo −2 con esponente 2 si ottiene 4.

Domande frequenti

Che cos'è un esponente negativo?

Un esponente negativo indica un reciproco, non un risultato negativo. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Il segno della risposta dipende solo dalla base, quindi (−2)⁻³ = −1/8.

Che cosa significa un esponente frazionario?

Il denominatore è la radice e il numeratore è la potenza. 27^(2/3) è la radice cubica di 27, cioè 3, elevata al quadrato, quindi 9. Un esponente 1/2 è una radice quadrata, quindi 9^0,5 = 3.

Perché qualsiasi numero elevato a zero è uguale a 1?

Perché lo richiede la regola del quoziente: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, e un numero diverso da zero diviso per se stesso dà 1. Il caso 0⁰ è una convenzione a parte, di solito considerata uguale a 1.

2³² è uguale a (2³)²?

No. Un esponente a catena si valuta dall'alto verso il basso, quindi 2^(3²) = 2⁹ = 512, mentre (2³)² = 8² = 64. Per ottenere il primo, inserisci 9 come esponente; per il secondo, inserisci 6.

(a + b)² è uguale ad a² + b²?

No. (a + b)² = a² + 2ab + b². Le leggi degli esponenti valgono per i prodotti, come (ab)², ma non per le somme. Per a = 3 e b = 4, (3 + 4)² = 49, mentre 3² + 4² = 25.

Come trovo il valore esatto di una potenza molto grande?

Usa l'aritmetica dei grandi interi invece di una calcolatrice in virgola mobile. Questo strumento lo fa per gli esponenti interi e mostra ogni cifra, fino a un risultato di 20.000 cifre.