Calculadora de expoentes

Resultados

O cálculo

• Escreva o expoente 10 em binário: 1010. Isso significa 10 = 2 + 8.
• Eleve ao quadrado repetidamente: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Multiplique as potências correspondentes aos dígitos binários: 2² × 2⁸ = 1024.

As leis dos expoentes com os seus números

Com a sua base e os dois expoentes inteiros, os dois lados de cada lei dão o mesmo resultado.

Como usar a calculadora de expoentes

1. 1. Digite a base. Um número inteiro, um decimal ou uma fração: 2, −1,5 ou 3/4. Para elevar um número negativo a uma potência, coloque o sinal de menos na base — digitar −2 calcula (−2)ⁿ.
2. 2. Digite o expoente. Números inteiros (10), negativos (−3), decimais (0,5) e frações (2/3) funcionam. Decimais são lidos como frações exatas, então 0,5 é 1/2.
3. 3. Leia o resultado. Potências com expoente inteiro aparecem por extenso, com a contagem de dígitos e, para valores grandes, em notação científica. Expoentes negativos dão uma fração e um decimal; raízes dão uma resposta exata quando ela existe, senão um decimal com as casas decimais que você escolher.
4. 4. Acompanhe o cálculo e as leis. Os passos abaixo mostram como a potência é construída, e a tabela de leis verifica as regras do produto, do quociente e da potência com a sua base.

O que significa um expoente

Para um número inteiro n ≥ 1, bⁿ significa b multiplicado por si mesmo n vezes: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Todos os outros tipos de expoente são definidos para que as mesmas regras continuem valendo. Um expoente zero dá 1 (para b ≠ 0), porque b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Um expoente negativo é um inverso: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, então 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Um expoente fracionário é uma raiz e uma potência: b^(p/q) é a raiz de índice q de b elevada à potência p, então 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Exemplo prático: 2¹³ por quadrados sucessivos

Para expoentes inteiros maiores, a calculadora mostra como um computador, ou uma pessoa paciente, constrói a potência com poucas multiplicações. Escreva o expoente em binário, eleve a base ao quadrado repetidamente e multiplique os quadrados que correspondem aos dígitos 1.

• 13 em binário é 1101, então 13 = 1 + 4 + 8.
• Elevando ao quadrado repetidamente: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Multiplicando as potências correspondentes: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
• Três quadrados e duas multiplicações substituem doze multiplicações feitas uma de cada vez.

Resultados muito grandes

Potências com expoente inteiro são calculadas com aritmética exata de inteiros grandes, então não há arredondamento em nenhum tamanho: 2¹⁰⁰ é 1267650600228229401496703205376 até o último algarismo, o que a aritmética de ponto flutuante só consegue aproximar como 1,2676506002282294 × 10³⁰. Resultados com até 20.000 dígitos são escritos por completo; acima disso, a calculadora dá uma estimativa de ordem de grandeza por logaritmos (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) e avisa que é uma estimativa.

Convenções que vale conhecer

• 0⁰ = 1. Essa é a convenção em combinatória, em séries de potências e na maioria dos softwares; alguns textos de análise deixam o caso indefinido, e a calculadora sinaliza esse caso.
• Zero elevado a um expoente negativo é indefinido, pois significaria dividir por zero.
• Bases negativas com expoentes fracionários. O expoente é primeiro reduzido à forma mais simples. Se o denominador for ímpar, usa-se a raiz real: (−8)^(1/3) = −2 e (−8)^(2/3) = 4. Se for par, não há resposta real: (−4)^(1/2) é o número complexo 2i.
• −2² e (−2)² são diferentes. Escrito como expressão, −2² significa −(2²) = −4. Aqui a base é um número, então digitar −2 com expoente 2 dá 4.

Perguntas frequentes

O que é um expoente negativo?

Um expoente negativo significa um inverso, não um resultado negativo. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. O sinal do resultado depende apenas da base, então (−2)⁻³ = −1/8.

O que significa um expoente fracionário?

O denominador é a raiz e o numerador é a potência. 27^(2/3) é a raiz cúbica de 27, que é 3, elevada ao quadrado, dando 9. Um expoente 1/2 é uma raiz quadrada, então 9^0,5 = 3.

Por que qualquer número elevado a zero é igual a 1?

Porque a regra do quociente exige isso: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, e qualquer número diferente de zero dividido por si mesmo dá 1. O caso 0⁰ é uma convenção à parte, normalmente tomada como 1.

2³² é o mesmo que (2³)²?

Não. Um expoente empilhado é avaliado de cima para baixo, então 2^(3²) = 2⁹ = 512, enquanto (2³)² = 8² = 64. Para obter o primeiro, digite 9 como expoente; para o segundo, digite 6.

(a + b)² é igual a a² + b²?

Não. (a + b)² = a² + 2ab + b². As leis dos expoentes valem para produtos, como (ab)², mas não para somas. Para a = 3 e b = 4, (3 + 4)² = 49, enquanto 3² + 4² = 25.

Como encontro o valor exato de uma potência muito grande?

Use aritmética de inteiros grandes em vez de uma calculadora de ponto flutuante. Esta ferramenta faz isso para expoentes inteiros e mostra todos os dígitos, até um resultado de 20.000 dígitos.