指数計算ツール
底と指数を入力すると、正確なべき乗が得られます。整数の結果は一桁ずつ正確に表示し、負の指数では分数、根が存在すれば正確な根、存在しなければ小数を示します。計算過程を書き出し、指数法則を入力した数で確かめる表も表示します。無料で、登録は不要です。
整数、小数、分数（2、−1.5、3/4 など）。
整数、負の数、小数、分数（10、−3、0.5、2/3 など）。
下の法則の表でのみ使用します。整数を入力してください。
結果
1024
結果
4
結果の桁数
計算過程
- 指数 10を二進法で書くと 1010です。つまり 10 = 2 + 8です。
- 繰り返し二乗します：2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256。
- 1の桁に対応する累乗を掛けます：2² × 2⁸ = 1024。
入力した数での指数法則
底と2つの整数の指数を使うと、各法則の両辺が同じになります。
| 法則 | 規則 | 入力した数での例 |
|---|---|---|
| 積の法則 | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| 商の法則 | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| 累乗の累乗 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| 負の指数 | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| 0の指数 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
指数計算ツールの使い方
- 1. 底を入力します。 整数、小数、分数のいずれでも構いません。例：2、−1.5、3/4。負の数を累乗するには、マイナス記号を底に含めてください。−2 と入力すると (−2)ⁿ を計算します。
- 2. 指数を入力します。 整数（10）、負の数（−3）、小数（0.5）、分数（2/3）が使えます。小数は正確な分数として読まれるため、0.5 は 1/2 です。
- 3. 結果を読みます。 整数の累乗は全桁で表示され、桁数と、大きな値では指数表記も示します。負の指数では分数と小数が得られます。根は存在すれば正確な値、存在しなければ選んだ桁数の小数で示します。
- 4. 計算過程と法則を確認します。 以下の手順で累乗がどのように作られるかを示し、法則の表では積、商、累乗の規則を底に当てはめて確かめます。
指数の意味
n ≥ 1 の整数について、bⁿ は b を n 回掛け合わせたものです。例えば 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 です。他の種類の指数も、同じ規則が成り立つように定義されています。0の指数は、b ≠ 0 のとき 1 になります。b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1 だからです。負の指数は逆数です。b⁻ⁿ = 1 / bⁿ であり、2⁻³ = 1/8 = 0.125 です。分数の指数は根と累乗の組み合わせです。b^(p/q) は b の q 乗根を p 乗したもので、8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4 です。
| 法則 | 規則 | 例 |
|---|---|---|
| 積 | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| 商 | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| 累乗の累乗 | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| 積の累乗 | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| 負の指数 | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| 0の指数 | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
具体例：繰り返し二乗で 2¹³ を求める
指数が大きい整数の累乗では、このツールは少ない掛け算で累乗を作る方法を示します。コンピュータでも人の手でも使える方法です。指数を二進法で書き、底を繰り返し二乗し、1の桁に対応する二乗どうしを掛け合わせます。
- 13 を二進法で書くと 1101 なので、13 = 1 + 4 + 8 です。
- 繰り返し二乗すると、2¹ = 2、2² = 4、2⁴ = 16、2⁸ = 256 です。
- 対応する累乗を掛けると、2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192 です。
- 二乗を3回と掛け算を2回行えば、1つずつ12回掛けるのと同じ結果になります。
非常に大きな結果
整数の累乗は正確な多倍長整数の演算で計算されるため、どの大きさでも丸めは行われません。例えば 2¹⁰⁰ は末尾の桁まで 1267650600228229401496703205376 です。浮動小数点演算では 1.2676506002282294 × 10³⁰ と近似するしかありません。20,000桁までの結果は全桁で書き出します。それを超える場合は、対数による見積もりを示し、そのことを明記します（2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9.99002093 × 10³⁰¹⁰²）。
知っておくべき約束事
- 0⁰ = 1。 組合せ論、べき級数、多くのソフトウェアで使われている約束事です。一部の解析学の教科書では未定義とし、このツールはその場合を注記します。
- 0の負の累乗は定義されません。 0で割ることになるためです。
- 負の底と分数の指数。 まず指数を既約分数にします。分母が奇数なら実数の根を使うので、(−8)^(1/3) = −2、(−8)^(2/3) = 4 です。分母が偶数なら実数の答えはありません。例えば (−4)^(1/2) は複素数 2i です。
- −2² と (−2)² は違います。 式として書くと、−2² は −(2²) = −4 を意味します。ここでは底は数なので、底に −2、指数に 2 を入力すると 4 になります。
よくある質問
- 負の指数とは何ですか？
- 負の指数は、負の結果ではなく逆数を意味します。5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0.04 です。答えの符号は底だけで決まるので、(−2)⁻³ = −1/8 です。
- 分数の指数とは何を意味しますか？
- 分母は根、分子は累乗を表します。27^(2/3) は 27 の立方根の 3 を 2 乗した 9 です。指数 1/2 は平方根なので、9^0.5 = 3 です。
- どんな数の0乗も1になるのはなぜですか？
- 商の法則がそれを要求するからです。bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰ で、0でない数を自分自身で割ると1になります。0⁰ は別の約束事で、通常は1とします。
- 2³² は (2³)² と同じですか？
- いいえ。重ねた指数は上から順に計算されるため、2^(3²) = 2⁹ = 512 ですが、(2³)² = 8² = 64 です。前者を求めるには指数に 9 を、後者には 6 を入力してください。
- (a + b)² は a² + b² と等しいですか？
- いいえ。(a + b)² = a² + 2ab + b² です。指数法則は (ab)² のような積には使えますが、和には使えません。a = 3、b = 4 のとき、(3 + 4)² = 49 で、3² + 4² = 25 です。
- 非常に大きな累乗の正確な値を求めるには？
- 浮動小数点の電卓ではなく、多倍長整数の演算を使ってください。このツールは整数の指数でそれを行い、20,000桁までの結果をすべての桁で示します。