等差数列計算ツール
初項と公差を入力すると、等差数列の任意の項と最初のn項の和が求まります。すでに分かっている2つの項から、初項a₁と公差dを逆算することもできます。分数や小数は正確なまま計算され、項番号は10¹⁵まで扱え、すべての公式は入力した数値を代入した形で示されます。無料で、登録は不要です。
毎回これを加えます。減少する数列では負の数にします。
1から10¹⁵までの整数です。
結果
79
項 a₂₀
820
最初の20項の和 S₂₀
4
公差
3
初項
dは正なので、数列は増加します。
一般項の公式
aₙ = 4n − 1
計算過程
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
数列
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
等差数列計算ツールの使い方
- 1. 分かっている情報を選びます。 「初項と公差」が通常の場合です。「数列の2つの項」は「3番目の項が11、8番目の項が36」のような問題に使います。「値が何番目か」は、ある数がどの項に当たるかを調べます。
- 2. 欄に入力します。 整数、小数、3/4のような分数が使えます。公差は負の数でもかまいません。項の位置は1から数えます。
- 3. カードを読みます。 一般項aₙ、最初のn項の和Sₙ、公差、初項が表示されます。
- 4. 途中式を確認します。 各公式に数値を代入した式が示され、続けて数列の最初のいくつかの項が並びます。
公式
等差数列は、各項に同じ量である公差dを足して次の項を作ります。初項をa₁とすると、a₁、a₁ + d、a₁ + 2d、…となります。したがって第n項は次のようになります。
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
和の公式は、等差級数の合計が「項数 × 最初と最後の項の平均」に等しいことを表しています。若き日のガウスが1 + 2 + … + 100を計算するのにこの方法を使ったという逸話があります。項数は100で、平均は(1 + 100) ÷ 2 = 50.5、よって和は5050です。両端から組にすると（1 + 100、2 + 99、3 + 98 …）、どの組も101になる50組ができます。
具体例
- 一般項と和。 3, 7, 11, … では a₁ = 3、d = 4 です。20番目の項は a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79、最初の20項の和は S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820 です。式で表すと aₙ = 4n − 1 です。
- 2つの項から。 a₃ = 11、a₈ = 36 のとき、3番目から8番目までの5つの段階で25増えるので、d = 25 ÷ 5 = 5 です。すると a₁ = 11 − 2 × 5 = 1 です。数列は 1, 6, 11, 16, … となり、a₂₀ = 96、S₂₀ = 970 です。
- 値はどこにあるか。 3, 7, 11, … で79は何番目の項か？ 3から79までの段階数は (79 − 3) ÷ 4 = 19 なので、項番号は19 + 1 = 20 です。80は項ではありません。77 ÷ 4 が整数にならないからです。
| 分かっている情報 | 使う式 |
|---|---|
| a₁、d、n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁、aₙ、d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| 2つの項 aₚ と a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p)、そして a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁、aₙ、n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| 連続する3つの項 a、b、c | b = (a + c) ÷ 2 — 各項は両隣の項の平均です |
よくある質問
- 等差数列の第n項の公式は何ですか？
- aₙ = a₁ + (n − 1)d です。a₁は初項、dは公差、nは項の番号です。5, 8, 11, … では aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2 となり、50番目の項は152です。
- 等差級数の和はどう求めますか？
- 項数に、最初と最後の項の平均を掛けます：Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2。最後の項が分からない場合は Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2 を使います。3, 7, 11, … の最初の20項は、どちらの式でも820になります。
- 公差はどう求めますか？
- ある項から、その次の項を引きます。隣り合っていない2つの項しか分からない場合は、その差を2つの項の間の段階数で割ります。a₃ = 11、a₈ = 36 のとき、d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5 です。
- 項数はどう求めますか？
- n = (末項 − 初項) ÷ d + 1 を使います。7, 12, 17, …, 102 では、(102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20 です。結果が整数にならない場合、与えられた末項は実際にはその数列の項ではありません。
- 公差は0、負の数、分数でもよいですか？
- はい、いずれも可能です。d = 0 ならすべての項が同じになり、負の d なら 20, 17, 14, … のように数列は減少します。d = 1/2 のような分数なら 2, 2.5, 3, … となります。このツールはこれらを正確に計算します。
- 等差数列と等差級数の違いは何ですか？
- 数列は項を並べたもの（3, 7, 11, 15）で、級数はその和（3 + 7 + 11 + 15 = 36）です。このツールでは、第n項と部分和 Sₙ の両方が求まります。
- 英語の arithmetic progression とは同じものですか？
- はい。arithmetic progression、略して AP は等差数列の別名です。「等差中項」も同じ考えを逆から見たもので、連続する3つの項の中央の項は、両隣の項の平均になります。