Công Cụ Tính Cấp Số Cộng

Kết quả

d dương, nên dãy tăng.

Công thức tổng quát

Cách làm

Dãy số

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79

Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Cấp Số Cộng

1. 1. Chọn điều bạn đã biết. Số hạng đầu và công sai là trường hợp thông thường. Hai số hạng của dãy dành cho các câu hỏi như “số hạng thứ 3 là 11 và số hạng thứ 8 là 36”. Tìm vị trí của một giá trị cho bạn biết số nào là một số hạng.
2. 2. Điền các ô. Số nguyên, số thập phân và phân số như 3/4 đều được; công sai có thể âm. Vị trí được đếm từ 1.
3. 3. Đọc các thẻ kết quả. Bạn nhận được số hạng aₙ, tổng Sₙ của n số hạng đầu, công sai và số hạng đầu.
4. 4. Theo dõi cách làm. Mỗi công thức được viết ra với các giá trị của bạn đã được thay vào, theo sau là vài số hạng đầu tiên của dãy.

Các Công Thức

Cấp số cộng cộng thêm cùng một lượng, công sai d, để đi từ mỗi số hạng sang số hạng kế tiếp: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. Vì vậy số hạng thứ n là

aₙ = a₁ + (n − 1)d
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2

Công thức tổng cho biết tổng của một chuỗi cấp số cộng bằng số số hạng nhân với trung bình của số hạng đầu và số hạng cuối. Câu chuyện kể rằng cậu bé Carl Friedrich Gauss đã dùng chính cách này để cộng 1 + 2 + … + 100: có 100 số hạng với trung bình (1 + 100) ÷ 2 = 50,5, nên tổng bằng 5050. Ghép các số hạng từ hai đầu — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — cho 50 cặp, mỗi cặp cộng lại bằng 101.

Ví Dụ Minh Họa

1. Số hạng và tổng. Với 3, 7, 11, … ta có a₁ = 3 và d = 4. Số hạng thứ 20 là a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79, và tổng của 20 số hạng đầu là S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820. Dưới dạng công thức, aₙ = 4n − 1.
2. Từ hai số hạng. Nếu a₃ = 11 và a₈ = 36, năm bước từ số hạng 3 đến số hạng 8 cộng thêm 25, nên d = 25 ÷ 5 = 5. Khi đó a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. Dãy là 1, 6, 11, 16, …, với a₂₀ = 96 và S₂₀ = 970.
3. Một giá trị nằm ở đâu? Trong 3, 7, 11, … số nào là số hạng 79? Số bước từ 3 đến 79 là (79 − 3) ÷ 4 = 19, nên đó là số hạng thứ 19 + 1 = 20. Giá trị 80 không phải là một số hạng, vì 77 ÷ 4 không phải là số nguyên.

Câu Hỏi Thường Gặp

Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng là gì?

aₙ = a₁ + (n − 1)d, trong đó a₁ là số hạng đầu, d là công sai và n là vị trí. Với 5, 8, 11, … ta có aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2, nên số hạng thứ 50 là 152.

Làm sao để tính tổng của một chuỗi cấp số cộng?

Nhân số số hạng với trung bình của số hạng đầu và số hạng cuối: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Nếu bạn không biết số hạng cuối, dùng Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2. Cả hai đều cho 820 với 20 số hạng đầu của 3, 7, 11, ….

Làm sao để tìm công sai?

Lấy một số hạng trừ đi số hạng đứng ngay trước nó. Nếu bạn chỉ biết hai số hạng không kề nhau, hãy chia hiệu của chúng cho số bước giữa chúng: với a₃ = 11 và a₈ = 36, d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.

Làm sao để tìm số lượng số hạng?

Dùng n = (số hạng cuối − số hạng đầu) ÷ d + 1. Với 7, 12, 17, …, 102, đó là (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20. Nếu kết quả không phải là số nguyên, số hạng cuối mà bạn được cho thực ra không có trong dãy.

Công sai có thể bằng 0, âm hoặc là phân số không?

Cả ba đều được. Với d = 0 mọi số hạng đều bằng nhau; với d âm dãy giảm, như 20, 17, 14, …; với một phân số như d = 1/2 bạn có 2, 2,5, 3, …. Công cụ xử lý chúng một cách chính xác.

Dãy cấp số cộng khác với chuỗi cấp số cộng như thế nào?

Dãy là danh sách các số hạng (3, 7, 11, 15); chuỗi là tổng của chúng (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Công cụ này cho bạn cả hai: số hạng thứ n và tổng riêng Sₙ.

Có phải “arithmetic progression” cũng là cùng một khái niệm không?

Đúng vậy. Arithmetic progression, thường viết tắt là AP, là tên gọi khác của cấp số cộng. “Trung bình cộng” là cùng một ý theo chiều ngược lại: số hạng ở giữa của ba số hạng liên tiếp là trung bình của hai số còn lại.