Aritmetik Dizi Hesaplayıcı
Bir aritmetik dizinin herhangi bir terimini ve ilk n terimin toplamını almak için ilk terimi ve ortak farkı girin. Ya da bildiğiniz iki terimi verin; hesaplayıcı a₁ ve d değerlerine geriye doğru ulaşır. Kesirler ve ondalık sayılar tam kalır, terim numaraları 10¹⁵'e kadar çıkar ve her formül kendi sayılarınızla birlikte gösterilir. Ücretsiz, üyelik gerekmez.
Her seferinde bunu ekleyin. Azalan bir dizi için negatif girin.
1 ile 10¹⁵ arasında bir tam sayı.
Sonuçlar
79
a₂₀ terimi
820
İlk 20 terimin toplamı S₂₀
4
Ortak fark
3
İlk terim
d pozitif olduğundan dizi artar.
Genel formül
aₙ = 4n − 1
Çözüm
a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 3 + (20 − 1) × 4 = 79
S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀) ÷ 2 = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820
Dizi
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, 79
Aritmetik Dizi Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Neyi bildiğinizi seçin. İlk terim ve ortak fark en yaygın durumdur. Dizinin iki terimi, 'üçüncü terim 11 ve sekizinci terim 36' gibi sorular içindir. Bir değerin konumunu bulun ise hangi terimin bir sayıya eşit olduğunu söyler.
- 2. Alanları doldurun. Tam sayılar, ondalık sayılar ve 3/4 gibi kesirler çalışır; ortak fark negatif de olabilir. Konumlar 1'den başlayarak sayılır.
- 3. Kartları okuyun. Terimi aₙ, ilk n terimin toplamını Sₙ, ortak farkı ve ilk terimi görürsünüz.
- 4. Çözümü izleyin. Her formül sizin değerlerinizle yazılır, ardından dizinin ilk birkaç terimi gelir.
Formüller
Aritmetik bir dizi, her terimden bir sonrakine geçmek için aynı miktarı, ortak farkı d ekler: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, …. Buna göre n. terim şöyledir
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
Toplam formülü, bir aritmetik serinin toplamının terim sayısı ile ilk ve son terimlerin ortalamasının çarpımı olduğunu söyler. Anlatıya göre genç Carl Friedrich Gauss, 1 + 2 + … + 100 toplamını bulmak için tam olarak bunu kullandı: 100 terim vardır, ortalamaları (1 + 100) ÷ 2 = 50,5'tir; dolayısıyla toplam 5050'dir. Terimleri iki uçtan eşleştirmek — 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — her biri 101'e eden 50 çift verir.
Çalışılmış Örnekler
- Terim ve toplam. 3, 7, 11, … için a₁ = 3 ve d = 4'tür. 20. terim a₂₀ = 3 + 19 × 4 = 79'dur ve ilk 20 terimin toplamı S₂₀ = 20 × (3 + 79) ÷ 2 = 820'dir. Formül olarak aₙ = 4n − 1.
- İki terimden. a₃ = 11 ve a₈ = 36 ise, 3. terimden 8. terime giden beş adım 25 ekler; d = 25 ÷ 5 = 5. Sonra a₁ = 11 − 2 × 5 = 1. Dizi 1, 6, 11, 16, …'dır; a₂₀ = 96 ve S₂₀ = 970.
- Bir değer dizide nerede? 3, 7, 11, … dizisinde hangi terim 79'dur? 3'ten 79'a adım sayısı (79 − 3) ÷ 4 = 19'dur; dolayısıyla terim 19 + 1 = 20'dir. 80 ise bir terim değildir, çünkü 77 ÷ 4 bir tam sayı değildir.
| Bildiğiniz | Kullanın |
|---|---|
| a₁, d ve n | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ ve d | n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1 |
| İki terim aₚ ve a_q | d = (a_q − aₚ) ÷ (q − p), sonra a₁ = aₚ − (p − 1)d |
| a₁, aₙ ve n | Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 |
| Ardışık üç terim a, b, c | b = (a + c) ÷ 2 — her terim komşularının ortalamasıdır |
Sık sorulan sorular
- Aritmetik bir dizinin n. teriminin formülü nedir?
- aₙ = a₁ + (n − 1)d; burada a₁ ilk terim, d ortak fark ve n konumdur. 5, 8, 11, … dizisi için aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2 olur; dolayısıyla 50. terim 152'dir.
- Aritmetik bir serinin toplamını nasıl bulursunuz?
- Terim sayısını ilk ve son terimin ortalamasıyla çarpın: Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2. Son terimi bilmiyorsanız Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2 kullanın. İkisi de 3, 7, 11, … dizisinin ilk 20 terimi için 820 verir.
- Ortak farkı nasıl bulurum?
- Herhangi bir terimi, ondan sonra gelen terimden çıkarın. Yalnızca komşu olmayan iki terim biliyorsanız, aralarındaki farkı aradaki adım sayısına bölün: a₃ = 11 ve a₈ = 36 ise d = (36 − 11) ÷ (8 − 3) = 5.
- Terim sayısını nasıl bulurum?
- n = (son terim − ilk terim) ÷ d + 1 kullanın. 7, 12, 17, …, 102 için bu (102 − 7) ÷ 5 + 1 = 20'dir. Sonuç tam sayı değilse, size verilen son terim aslında dizide değildir.
- Ortak fark sıfır, negatif ya da kesir olabilir mi?
- Üçü de olabilir. d = 0 ise her terim aynıdır; negatif d ile dizi azalır, örneğin 20, 17, 14, …; d = 1/2 gibi bir kesirle 2, 2,5, 3, … elde edersiniz. Hesaplayıcı bunları tam olarak işler.
- Aritmetik dizi ile aritmetik seri arasındaki fark nedir?
- Dizi terimlerin listesidir (3, 7, 11, 15); seri ise bunların toplamıdır (3 + 7 + 11 + 15 = 36). Bu araç size ikisini de verir: n. terimi ve kısmi toplamı Sₙ.
- Aritmetik ilerleme de aynı şey mi?
- Evet. Genellikle AP olarak yazılan aritmetik ilerleme, aritmetik dizinin başka bir adıdır; 'aritmetik ortalama' ise aynı fikrin tersidir: ardışık üç terimin ortadakisi diğer ikisinin ortalamasıdır.